Strona:A. Baranowski - O wzorach.pdf/6

a jakie są cechy liczb złożonych. Przy pomocy Dra Hossfelda w Eisenach, poznałem zasady funkcyi $\operatorname {\varphi } (m)$. Opracowując tę funkcyę w zakresie do $100\,000$, potem do $1,000\,000$, wykryłem okresy symetrycznych luk między liczbami względnie pierwszemi, po usunięciu każdej z porządku z liczb pierwszych ze wszystkiemi przez nią podzielnemi liczbami i prawidło ogólne, że

	$\operatorname {\varphi } (p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n},n)=(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1)$
oraz że	$\operatorname {\varphi } (g(p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n},n))=g(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1)$.

 Wykryta zaś symetrya luk w danym okresie, t. j. że luka 1-sza $=$ luce ostatniej, 2-ga $=$ przedostatniej , 3-cia z początku $=$ 3-ciej od końca i t. d. aż do połowy, czyli środka okresu, to jest do ${{p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}} \over 2}$ wskazała możność obliczenia na poczekaniu i zakresu numeracyi
$0,1,2,3,\ldots m=p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}+r$,
oraz $m=g.p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}\pm {r}$,
gdyż $\operatorname {\varphi } (p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}\pm {r},n)=(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1){\begin{cases}+\operatorname {\varphi } (r,n)\\-\operatorname {\varphi } (r-1,n),\end{cases}}$
oraz $\operatorname {\varphi } (g.(p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}\pm {r},n))=(g(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1){\begin{cases}+\operatorname {\varphi } (r,n)\\-\operatorname {\varphi } (r-1,n).\end{cases}}$
 Zakomunikowałem te spostrzeżenia przez p. Webera Drowi Hossfeldowi, który przyznał im wielką wagę; ale potem zawiadomił mię, że już w roku 1872 Dr. Meissel te same prawa odkrył i ogłosił, tylko jeszcze nie wiedział o wewnętrznej symetryi okresów i dla tego wzór jego posiada tylko $+r,$ ale nie $-r.$ Wydrukował o tem za mojem przyzwoleniem króciutki artykulik o dopełnieniu przeze mnie wzoru Meissela. Artykulik wyszedł niefortunnie, bo przed wydrukowaniem nie przysłał mi go do przejrzenia. Wsadził doń bez potrzeby własnego pomysłu $p_{x},$ bez potrzeby i sensu. Kiedym go później przekonał, iż wszystkie trudności i pomyłki wyrażenie $-\operatorname {\varphi } (r-1,n)$ usuwa, przysłał mi do przejrzenia napisany do druku drugi artykulik o tem samem; ale jego objaśnienie $-\operatorname {\varphi } (r-1,n),-1$, nie trafiło do mojego przekonania; moje zaś objaśnienie on uważał za naciągnięte. W ten sposób artykulik jego nie wyszedł z druku.
 Dla większego jeszcze uproszczenia obliczeń funkcyi $\operatorname {\varphi } (m)$, ułożyłem analityczną tablicę okresu $p_{6},$ t. j. $\operatorname {\varphi } (2.3.5.7.11.13,6)=\operatorname {\varphi } (30030,6)$, która wielkie daje ułatwienie przy obliczaniu większych zakresów numeracyi.