Strona:PL Auerbach Arytmetyka grecka u szczytu rozwoju.pdf/13

Wystąpił problem z korektą tej strony.

pewne prawa, których każe przestrzegać przy rozwiązywaniu zadania. Biorę z 1 księgi zadanie 6, więc jedno z początkowych: Daną liczbę rozłożyć na dwa dodajniki tak, aby dana część pierwszego dodajnika była większa od danej części drugiego dodajnika o daną liczbę:

x + y a
x/my/n b

Po rozwiązaniu równania wypadnie x = m(a + bn)/m + n, y = n( a ― bm)/m + n
Diofantos mówi po podaniu tematu i przed zaczęciem wykonania: Liczba dana (b) musi być mniejsza od liczby, która powstanie, jeśli się z liczby początkowo danej (a) weźmie tę daną część, w której jest nadwyżka.
Co to znaczy? Zobaczymy to, wziąwszy przypadek konkretny, mianowicie: Rozłożyć liczbę 100 tak, aby 1/4 pierwszej była większa od 1/6 drugiej o 20. Według powyższego musi więc być: 20 < 100/4, co w tym wypadku jest oczywiście prawdą.
Cóż to jednać znaczy, że musi być mniejsza? Spróbujmy, co się stanie, jeśli wstawimy liczby, które tego warunku nie spełniają. Zmieńmy w przytoczonym przykładzie konkretnym 1/4 i 1/6 odpowiednio nprz. na 1/10 i 1/15. Obecnie już więc nie będzie 20 < 100/10. Mamy teraz:

x + y 100, x/10y/15 20; zatem x 160, y ― 60.


Cóż widzimy? Wynik jest ten, że jeden dodajnik jest ujemny. A Diofantos nie znał, czy nie uznawał rozwiązań w liczbach ujemnych. Otóż jego zastrzeżenie zakreśla granice, w których wyniki są jeszcze dodatnie.
Jest rzeczą ciekawą, jak on wpadł na to, że tylko wtedy są rozwiązania dodatnie, kiedy spełnia się warunek wyrażony w zdaniu „Liczba dana musi być mniejsza od liczby, która powstanie, jeśli się z liczby początkowo danej weźmie tę daną część, w której jest nadwyżka“. W naszem rozwiązaniu ogólnem było y = n (a ― bm)/m + n. Co nam ten wzór mówi? y będzie dodatnie, jeśli a ― bm będzie dodatnie, gdyż ani n ani m + n nie mogą sprawić, aby wynik był ujemny. Kiedy a ― bm będzie dodatnie? Jeśli