Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/14

Dajmy na to, że konstrukcye geometryczne wykonywamy na płaszczyznie, i że z punktu danego chcemy nakreślić trzy proste wzajemnie do siebie prostopadłe. Układ taki, jak to dobrze wiadomo z planimetryi, jest niemożliwy, bo do prostej w punkcie danym tylko jednę prostopadłą poprowadzić można. Lecz niemożliwość upada, skoro od płaszczyzny przechodzimy do przestrzeni, w której w każdym punkcie taki układ trójprostokątny pomyśleć i nakreślić można. To więc, co było niemożliwością w dziedzinie dwuwymiarowej płaszczyzny, staje się możliwem w dziedzinie trójwymiarowej przestrzeni. Niemożliwość zatem lub sprzeczność pierwotna przez rozszerzenie dziedziny została usunięta.
 Postęp matematyki polega właśnie między innemi i na tem, że niemożliwości, jakie napotyka na drodze rozwoju, (jeżeli nie są niemożliwościami logicznemi lub bezwzględnemi) znosi przez to, że przekracza dziedzinę badania, że rozszerza niejako widnokrąg, stwarzając nowy świat form, obejmujący w sobie świat pierwotny. Badanie takich form ogólniejszych nasuwa umysłowi nowe interesujące zagadnienia, zazwyczaj płodne w następstwa.
 Liczby niewymiernie (algebraicznie) i przestępne przedstawiały także niemałe trudności przy wprowadzeniu ich do dziedziny arytmetycznej. Pierwsze z nich odkrył już Pytagoras, gdy pragnął wyrazić liczbą stosunek długości przekątnej do długości boku w kwadracie; jest to zadanie znane z geometryi elementarnej. Stosunek ten nie dał się wyrazić ani liczbą całkowitą ani ułamkową; a ponieważ dziedzina podówczas znanej nauki innych liczb nie obejmowała, nie był więc ten stosunek liczbą w ówczesnem, ograniczonem znaczeniu tego wyrazu. Wiemy, że ten stosunek wyraża się jako √2; nie wyłączamy go obecnie z dziedziny liczb, owszem miejsce jego w tej dziedzinie określić potrafimy. Ale sposób, w jaki tę i inne liczby niewymierne, które później poznano, do dziedziny liczb wprowadzać należy; droga, na jakiej należy liczby niewymierne związać z pozo-