stałą dziedziną, bywa jeszcze dotąd rozmaicie pojmowana. Można np. √2 uważać jako granicę, do której dąży szereg liczb 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142,... coraz bardziej rosnących i coraz mniej od siebie się różniących, jest zatem √2 wyrazem idealnym zasobu powyższych kolejnych wartości, coraz dokładniej stosunek przekątnej do boku kwadratu wyrażających. Jest to więc nowa forma rachunkowa, nowe narzędzie, upraszczające nasze rozumowania i dochodzenia. Gdy zaś okaże się, że do tej formy lub innych w podobny sposób wprowadzonych, można na zasadzie definicyi stosować i arytmetyczne działania, że te działania nie prowadzą do sprzeczności z działaniami dla liczb wymiernych (całkowitych i ułamkowych), że owszem jedne i drugie w ogólnych prawidłach zawrzeć się dają, to od tej chwili liczby niewymierne mają prawo bytu w nauce.
W inny oryginalny sposób wprowadza Dedekind [1] liczby niewymierne do arytmetyki. Wyobraźmy sobie najprzód szereg liczb wymiernych (całkowitych i ułamkowych) i podzielmy go na dwie klasy tak, aby każda liczba pierwszej klasy była mniejsza od którejkolwiek liczby klasy drugiej. Możemy naprzykład w klasie pierwszej umieścić wszystkie liczby mniejsze od 2 oraz liczbę 2, w drugiej zaś wszystkie liczby większe od 2. Przy takim podziale liczba 2 jest największą w klasie pierwszej. Jest ona przecięciem (Schnitt) szeregu liczb wymiernych na dwie klasy, bo na niej kończy się klasa pierwsza i od niej zaczyna druga. Gdybyśmy w klasie pierwszej umieścili wszystkie liczby wymierne mniejsze od 2, w drugiej liczbę 2 oraz liczby od 2 większe, to znów liczba 2 byłaby najmniejszą w klasie drugiej i stanowiłaby jak poprzednio „przecięcie“ danego szeregu.
Ale zachodzić może i taki przypadek podziału liczb wymiernych na dwie klasy, że w klasie pierwszej nie będzie liczby największej lub w drugiej — najmniejszej. W samej rzeczy podzielmy liczby wymierne na dwie klasy
- ↑ Pomysł ten rozwinął Dedekind w broszurze: „Stetigkeit und irrationale Zahlen“ 1872, wydanie 2-gie 1892.
