na nich działania, fizyk zaś stosuje je w badaniach teoretycznych. Określenia formalne nieskończenie małych i działań nad niemi są dla matematyka dostateczną rękojmią, że używając metod ściśle uzasadnionych i z określeniami zgodnych, błędu nie popełni. Teorya formalna usuwa niejako metafizykę i pozwala badaczowi stąpać bez obawy po drodze, najeżonej trudnościami dla filozofa.
Toż samo da się powiedzieć o formach nieskończenie wielkich, które w matematyce znalazły przytułek pewny i nie prowadzą na manowce, jeżeli tylko ściśle trzymać się będziemy tych określeń, na podstawie których formy te wprowadziliśmy i strzedz się będziemy błędów logicznych w rozumowaniu. Powiemy więcej: formy takie okazują się bardzo pożytecznem narzędziem i otwierają widoki szersze, prowadzą do interesujących uogólnień. Pytanie metafizyczne, czy liczby lub formy nieskończone „istnieją“ w znaczeniu metafizycznem, do matematyki, ściśle biorąc, nie należy; jest w niej rzec można, pytaniem próżnem. Pomieszanie teoryj matematycznych z pytaniami metafizycznemi prowadziło często do błędów i niedorzeczności. W zastosowaniu zwłaszcza do przestrzeni należy starannie wystrzegać się pomieszania matematyki z metafizyką [1]. Dla matematyka przestrzeń, jako pewna forma geometryczna, może być skończoną lub nieskończoną; czy zaś przestrzeń zjawisk przyrody jest „w rzeczy samej“ skończoną lub nieskończoną, tego matematyka nie rozstrzyga i rozstrzygnąć nie może. Wolno badaczowi przyjąć jedno lub drugie, byleby wiedział dokładnie, co tkwi w jego przyjęciu i do jakich wniosków logicznych ono go upoważnia.
Pojęcie liczb niewymiernych, przestępnych i nieskończenie małych związane jest z pojęciem ciągłości. I to pojęcie niemało sprawia kłopotu filozofom. Powszechnie uważamy przez intuicyą przestrzeń za ciągłą, ruch ciał w przestrzeni za ciągły; jednem słowem poczytujemy ciągłość za własność zasadniczą i konieczną w dziedzinie rzeczywi-
- ↑ Podane w tekście słowa o stosunku teoryj matematycznych do metafizyki znajdują uzasadnienie w samodzielności matematyki, która wynika z jej istoty i stwierdzona została jej dotychczasowym rozwojem. Ostrzeżenie nasze nie oznacza bynajmniej, że nie uznajemy źródła psychologicznego form matematycznych i że lekceważymy badania filozoficzne lub teoretyczno-poznawcze nad pojęciami i metodami matematyki. Przeciwnie uważamy badania takie za nader ważne. Pojęcia matematyki są nawet niezbędne w studyach teoryi poznania, a rozwój stopniowy pojęć tych stanowi jedno z najbardziej ciekawych zagadnień dla filozofa; zagadnień, które w każdej epoce rozwoju wiedzy na nowo i z ulepszonemi środkami podejmować należy. Wykrycie źródła pojęć matematycznych, zbadanie procesów myślowych, jakie prowadzą do uogólnień w matematyce, wyśledzenie związków logicznych pomiędzy pojęciami, stanowisko ich wśród pojęć innych umiejętności, zasady i granice stosowalności matematyki w innych naukach — oto zagadnienia, jakie przypadają do rozwiązania filozofowi. W tego rodzaju badaniach będzie on musiał oczywiście oprzeć się na podstawach psychologii i teoryi poznania, ale musi też wniknąć głęboko w charakter metod samej matematyki. Nietyle technika tej nauki — chociaż i ta ma swoją filozofią, — nie tyle specyalne zagadnienia matematyczne, ile jej podstawowe pojęcia i metody stanowić mają pierwszorzędny przedmiot spekulacyi filozoficznej.
Jak z jednej strony nie należy wprowadzać metafizyki do matematyki, tak z drugiej nie wolno też bez zastrzeżeń wysnuwać z matematyki konsekwencyj metafizycznych, do jakich należą np. poglądy metafizyczne o nieskończoności świata, ciągłości materyi i t. p., wysnuwane z nieskończonościowych form matematycznych. Takie nieuprawnione wnioskowanie prowadzić łatwo może do niedorzeczności, jak to niejednokrotnie stwierdziła historya rozwoju myśli ludzkiej. We wszystkich badaniach tego rodzaju najwyższą mądrością jest przestrzeganie granic stosowalności pojęć, oparte na świadomości źródła, z którego powstały, i drogi, na jakiej doznały uogólnienia.
