Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/23

Ta strona została uwierzytelniona.

stem umiejętności? W miejsce twierdzenia: „suma kątów w trójkącie jest równa dwóm kątom prostym“ postawmy inne: „suma kątów trójkąta jest mniejszą od dwóch kątów prostych“ i dołączywszy ten pewnik do pozostałych twierdzeń zasadniczych geometryi, postarajmy się rozwinąć geometryę według typu geometryi euklidesowej. Zadanie to udało się rozwiązać w zupełności, i nauka, w ten sposób powstała, nazwaną została geometryą nieeuklidesową. W geometryi tej przez punkt dany zewnątrz prostej nie jednę tylko lecz dwie właściwe równoległe poprowadzić można; a za tem twierdzenie idzie cały szereg innych, których tu przedstawiać nie będziemy [1].
Teorya Łobaczewskiego była wielkim krokiem naprzód, jakkolwiek nie postawiła jeszcze kwestyi na stanowisku najogólniejszem. Riemann (1854) i Helmholtz (1867) posunęli się jeszcze dalej [2]. Jeżeli w układzie pewników można jeden z nich zastąpić założeniem nowem — tak rozumują ci uczeni — w takim razie system pewników geometryi nie stanowi prawd koniecznych; pewniki geometryi euklidesowej są zatem hypotezami, z doświadczenia wywnioskowanemi i nadającemi geometryi euklidesowej charakter nauki w podstawach swych empirycznej. Możliwem jest więc pytanie, jaki jest układ hypotez, mogących służyć za podstawę umiejętności ogólnej, której geometrya euklidesowa i nieeuklidesowa są szczególnemi przypadkami.

Zadanie takiej umiejętności ogólnej polega na tem, aby wynaleźć te cechy elementów zasadniczych, jak punktu, prostej (linii najkrótszej) i t. d. które charakteryzują system elementów (przestrzeń) i mogą być wydzielone, jako układ pewników geometryi. Według Riemanna i Helmholtza, którzy pytanie to traktowali na drodze analitycznej, rachunkowej, cechą przestrzeni jest wyrażenie jej elementu liniowego (odległości dwóch punktów nieskończenie bliskich), lub też jej krzywizna. Przestrzeń geome-

  1. Łobaczewski pomysły swoje wypowiedział po raz pierwszy w rozprawie „Exposition succinte des principes de la Géométrie“ czytanej na posiedzeniu fakultetu fizyko-matematycznego w Kazaniu w lutym 1826 r., lecz dopiero rozprawa ogłoszona w XVII tomie dziennika Crelle’go p. t. „Géométrie imaginaire“ (r. 1837) oraz „Geometrische Utersuchungen zur Theorie der Parallelen“ (1840) przyczyniły się do rozpowszechnienia jego teoryi. Poglądy Bolyaia ogłoszone zostały w r. 1832 w dziełku Tentamen juventutis i t. d. W geometryi nieeuklidesowej Łobaczewskiego przez punkt P dany zewnątrz prostej AB można poprowadzić dwie proste PC i PD równoległe do prostej AB. Przedłużając proste PC i PD po za punkt P w drugą stronę, otrzymamy dwa pola CPD i C’PD’. Każda z prostych, w tem polu nakreślonych i przez punkt P przechodzących, nie przecina prostej AB. Mamy więc w geometryi nieeuklidesowej w każdym punkcie P zewnątrz prostej AB dwie proste do prostej AB równoległe i nieskończoną liczbę prostych, nieprzecinających danej lecz nierównoległych.
  2. Rozprawy Riemanna, Helmholtza, stanowiące podstawę całego niemal dzisiejszego ruchu w dziedzinie geometryi ogólnej, mają tytuły, pierwsza: „Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen“, druga: „Ueber die Thatsachen die der Geometrie zum Grunde liegen“. Obie wpłynęły też znakomicie na rozwój badań filozoficznych o przestrzeni. Należy wszakże wspomnieć, że już w znakomitem dziele Grassmanna: „Ausdehnungslehre“ z r. 1844 i 1862 znajdujemy poglądy o przestrzeni geometrycznej, podobne w znacznej części do poglądów dwóch wymienionych wyżej uczonych.