Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/24

tryi euklidesowej jest tym sposobem przestrzenią trójwymiarową ciągłą o krzywiznie równej zeru. W przestrzeni geometryi nieeuklidesowej krzywizna jest stałą ujemną. Ale oprócz tych dwóch przypadków są możliwe inne; jednym z najważniejszych jest ten, w którym krzywizna jest stałą dodatnią (przestrzeń Riemannowska). Trójwymiarowość nie stanowi konieczności w tej ogólnej nauce; cechy matematyczne bowiem nie zmieniają się, jeżeli zamiast przestrzeni trójwymiarowej rozważać będziemy powierzchnie t. j. „rozmaitości“ dwuwymiarowe, lub jeżeli pomyślimy rozmaitość niewyobrażalną, której liczba wymiarów jest większą niż trzy. Możemy mówić zatem o płaszczyznie lub w ogóle o rozmaitości euklidesowej, (parabolicznej, według terminologii Kleina) , w której suma kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym; o rozmaitości nieeuklidesowej (hyperbolicznej), w której ta suma jest od dwóch kątów prostych mniejsza, wreszcie o rozmaitości Riemannowskiej (eliptycznej), w której ta suma jest od dwóch kątów prostych większa. „Rozmaitości dwuwymiarowe“ można sobie wyobrazić wewnątrz naszej zwykłej przestrzeni; pierwszą z nich jest oczywiście każda zwyczajna płaszczyzna; do kategoryi drugich należy powierzchnia nieskończona, t. z. pseudo-sferyczna, opisana przez Beltrami’ego; do kategoryi trzecich powierzchnia zwyczajnej kuli. (Wiadomo, że na powierzchni kuli suma kątów trójkąta sferycznego, utworzonego z łuków kół wielkich, jest od dwóch kątów prostych większa).
 Każda z tych geometryj rozwinęła się w sposób ścisły i konsekwentny, a rozwój ich wpłynął na inne dziedziny matematyki; mają więc te badania racyą bytu w nauce zupełnie tak samo, jak teorye liczb niewymiernych, ujemnych i urojonych, którym początkowo nie przypisywano żadnego znaczenia.
 Mimo to niemało jest filozofów, którzy uważają te badania za pracę poronioną, a wszelką geometryą od euklide-