Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/26

Ta strona została uwierzytelniona.

I wybór elementów jest nawet dowolny. Prostą wyznaczają, jak wiadomo nie tylko dwa punkty, ale i dwie płaszczyzny (przecięcie płaszczyzn), tak że wielu twierdzeniom geometrycznym, odnoszącym się do figur uważanych za układy punktów, odpowiadają twierdzenia odnoszące się do figur, określonych przez układy płaszczyzn. Istnieje, jak widzimy, pewien dualizm, okazany tu na przykładzie najprostszym, skutkiem którego „punkt“ i „płaszczyzna“ mogą być uważane zarówno za elementy przestrzeni. Dualizm ten wzbogacił geometryą wielu nowemi i pięknemi twierdzeniami. Dajmy inny jeszcze przykład: nazwijmy „punktem“ prostą, przechodzącą przez punkt w zwykłem znaczeniu; „płaszczyzną“ ogół ( ∞ ) prostych przestrzeni, przechodzących przez punkt zwykły; „prostą“ nazwijmy ogół ( ∞ ) prostych w zwykłem znaczeniu, przechodzących przez jeden punkt zwykły i leżących na jednej płaszczyźnie w znaczeniu zwykłem. Przy tak zmienionej roli pojęć utrzymuje się wszakże twierdzenie: „prosta“ jest określona przez dwa „punkty“; trzy „proste“ stanowią „trójkąt“ (kąt trójścienny) i t. d. [1].
Widzimy więc, że geometrya jest w pewnej mierze niezależną od tego, czy formy, będące przedmiotem jej badania są lub nie są wyobrażalne; pewniki zaś geometryi sprowadzają się ostatecznie do pewnych „postulatów“, jakie stawiamy dla form elementarnych naszego badania. Nie przeczy temu bynajmniej ta okoliczność, że pobudkę do przyjęcia faktów, mających charakter pewników w geometryi euklidesowej, mogło dać doświadczenie.

Nowsze badania geometryczne wskazały nadto, że możliwem jest nawet utworzenie umiejętności geometrycznej bez stosowania pojęcia miary (odległości i kąta). Taka geometrya, zwana geometryą rzutową lub geometryą położenia, może być rozwiniętą bez pewnika euklidesowego o liniach równoległych. Biorąc za podstawę twierdzenia zasadnicze geometryi rzutowej, możemy wprowadzić do jej dziedziny określenia długości i kąta, i to tak ogólnie, że z tych

  1. Pomysł podobnej transformacyi pojęć zawdzięczamy Petersenowi, Bemerkungen über den Beweis der Satzes von der Winkelsumme des Dreiecks (Mathematische Annalen, t. XXIX).