W rozwoju wiedzy zauważyć się daje nieustający dualizm, którego źródło tkwi głęboko w istocie ducha ludzkiego, stanowiącego z jednej strony integralną część przyrody, z drugiej zaś przeciwstawiającego się tejże przyrodzie, jako byt samodzielny. Dualizm ten, noszący w filozofji nazwy empiryzmu i racjonalizmu, objawiający się pod różnemi postaciami we wszystkich dziedzinach twórczości, z niezwykłą siłą występuje w tak spokojnej na pozór i wolnej od wszelkich walk i sporów nauce, jaką jest matematyka, ilekroć do jej dziedziny twórczość wynalazców wprowadza nowe pojęcia lub gdy idzie o teorją powstania pojęć matematycznych w ogólności.
Mniej obeznanym z rozwojem tej gałęzi wiedzy jedną i jedyną wydaje się droga, jaką postępuje matematyka, a jest nią droga ścisłego rozumowania, na prawidłach logiki oparta. Ma wszakże matematyka i treść bogatą, którą w formie wyidealizowanej wnosi do swej dziedziny już to ze świata zewnętrznego, już to z umysłu. W tworzeniu właśnie tej treści, w konstrukcji form matematycznych występuje owa dwoistość kierunku myśli ludzkiej. Według empiryzmu, opierającego się na doświadczalnym początku wszelkiego poznania, matematyka tworzy swe pojęcia na podstawie doświadczenia, pewniki zaś jej tylko w doświadczeniu swe uzasadnienie znajdują; racjonalizm matematyczny, przeciwnie, w samym duchu ludzkim widzi jedyne i wystarczające źródło tworzenia pojęć, oraz dostateczną podstawę dla pewników. Dla empiryzmu twory matematyczne są więc tylko wyidealizowanemi obrazami rzeczywistości; dla racjonalizmu są formami, w które ujmować należy koniecznie przedmioty i zjawiska zewnętrzne. Dla empiryka formy matematyczne mają racją bytu o tyle tylko, o ile służyć mogą do badania związków zachodzących pomiędzy wielkościami fizycznemi; dla racjonalisty spekulacja matematyczna ma znaczenie samodzielne, jako otwierająca nowe dziedziny poznania, stwarzająca nowe formy myśli. Empiryzm, zmuszony właściwościami metod matematycznych, godzi się z takiemi tworami, jak liczby ujemne, niewymierne, urojone, nieskończe-
