Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/13

Ta strona została uwierzytelniona.
II.

Stary to spór; już Leibniz usiłował dowieść, że 2 i 2 daje 4; rozpatrzmy nieco bliżej jego dowodzenie.

Przypuśćmy, że określono liczbę 1 oraz działanie x + 1, które polega na dodaniu jedności do danej liczby x.

Określenia te, jakakolwiek jest ich treść, nie będą występowały w dalszym ciągu rozumowania.

Określam następnie liczby 2, 3 i 4 zapomocą równości:

(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.

Określam podobnież działanie x + 2 przez równość:

(4) x + 2 = (x + 1) + 1.

To założywszy mamy

2 + 2 = (2 + 1) + 1 (określenie 4)
(2 + 1) + 1 = 3 + 1 (określenie 2)
3 + 1 = 4 (określenie 3)

skąd wypływa

2 + 2 = 4 c. b. d. d.

Niepodobna zaprzeczyć, że rozumowanie to jest czysto analityczne. Zapytajcie jednak o to jakiegokolwiek matematyka, a odpowie wam: »Nie jest to dowodzenie we właściwym znaczeniu słowa, lecz tylko sprawdzenie«. Ograniczono się do zestawienia dwóch określeń czysto konwencyonalnych i stwierdzono ich tożsamość; nie dowiedziano się niczego nowego. Sprawdzenie różni się od prawdziwego dowodzenia tym właśnie, że jest czysto analityczne i że jest jałowe. Jest jałowe, gdyż wniosek jest tylko przekładem na inny język treści zawartej w przesłankach. Dowodzenie prawdziwe jest natomiast płodne, ponieważ wniosek, do jakiego prowadzi jest poniekąd ogólniejszy niż przesłanki.

Równość 2 + 2 = 4 może być poddana sprawdzeniu dlatego tylko, że jest szczególną. Każde twierdzenie szczególne w matematyce będzie zawsze nadawało się do takiego rodzaju sprawdzenia. Gdyby wszakże matematyka miała się