Określenie mnożenia. — Mnożenie określimy zapomocą równości
(2) a × b = [a × (b - 1)] + a.
Równość (2) zawiera podobnie jak równość (1), nieskończoną ilość określeń; po określeniu a × 1 pozwala ona kolejno określić a × 2, a × 3 i t. d.
Własności mnożenia. — Rozdzielnościowość. — Twierdzę, że
Sprawdza się analitycznie, że równość ta jest prawdziwa dla c = 1; następnie, że jeśli jest prawdziwa dla c = γ, jest prawdziwa i dla c = γ + 1. I to twierdzenie jest tedy dowiedzione przez rekurencyę.
Przemiennościowość. - 1° Twierdzę, że
Twierdzenie to jest oczywiste dla a = 1.
Sprawdza się analitycznie, że jeśli jest prawdziwe dla a = α, to jest prawdziwe dla a = α + 1.
2° Twierdzę, że
Twierdzenia tego dowiedliśmy powyżej dla b = 1. Można sprawdzić analitycznie, że jeśli jest ono prawdziwe dla b = β, to będzie prawdziwe również dla b = β + 1.
Urywam tutaj ten monotonny szereg rozumowań. Lecz sama ta monotonia posłużyła do lepszego uwydatnienia sposobu rozumowania, który jest jednostajny i napotyka się na każdym kroku.
Sposób ten polega na dowodzeniu przez rekurencyę. Ustanawia się naprzód twierdzenie dla n = 1; okazuje się następnie, że jeśli jest ono prawdziwe dla n - 1, będzie nim
