Potem napisałem teoryę luk, których Dr. Hossfeld nie podjął się sprawdzić.
Nareszcie usunąwszy wszystkie liczby podzielne przez
i
, jako łatwe do poznania, zanalizowałem zakres numeracyi
, czyli liczby wszystkie pierwsze w tym zakresie, oraz podzielne przez
t. j. przez
Spisałem na ogół liczb
, oznaczając je właściwemi czynnikami n. p.
i t. d.
Później z tego kajetu wypisałem osobno same tylko liczby pierwsze, to jest:
![{\displaystyle p_{1}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c1012d071d5230251cd5849b26ad1f3be55492)
,
![{\displaystyle p_{2}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9796c64d24b8152fdeda81c580b4d0dc7b67eadc)
,
![{\displaystyle p_{3}=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cad4dcf53c3e646e625c87bdeafa3b4ca059f5e)
,
....
![{\displaystyle p_{13852}=150\,053}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef372bac7c73b372a2843dc774f92fda072711b)
.
Gustaw Wertheim w dziele „Elemente der Zahlentheorie“ (Leipzig
1887) rozwija i przykładem objaśnia następujący wzór Meissel’a do obliczenia w danym zakresie numeracyi liczb pierwszych str. 24.
![{\displaystyle \operatorname {\psi } (n)=\operatorname {\varphi } (n,m)+m(\mu +1)+{{\mu (\mu -1)} \over 2}-1-\sum _{s=1}^{s=\mu }\operatorname {\psi } {\biggl (}{n \over {p_{m+s}}}{\biggr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1158f03f286371d4c3778022995877d6a13f18a)
oznacza tutaj, ile się zawiera liczb bezwzględnie pierwszych w zakresie numeracyi od
![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w sześciennym pierwiastku zakresu
, czyli
.
oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w pierwiastku kwadratowym
, po odjęciu liczby tychże liczb, będących w pierwiastku sześciennym, czyli
.
![{\displaystyle m+\mu =\psi {\Bigl (}{\sqrt {n}}{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cce4ae2a644fc42c624f024fb6dacdfec919ba)
.
Wzór ten, dobry przy obliczaniu niewielkich zakresów numeracyi, kiedy
nie przewyższa setek, tysięcy; znośny jeszcze i przy obliczaniu dziesiątek tysięcy; w wielkich zaś zakresach numeracyi, wymaga wiele miejsca, czasu i pracy. Można się o tem przekonać, obliczając choćby tylko
![{\displaystyle n=100\,000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d17e5ce4d70d70827c2033165c6ce387b0adad)
;
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}=46}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9899c401217b3d59e16ed88bafb26c8fdfcc63b0)
;
![{\displaystyle \operatorname {\psi } (46)=14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef7e69e841efbba0c898bf92f4475d616a51b40)
;
![{\displaystyle {\sqrt {n}}=316}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4f2cf25a0f901fba6a98a58570c43a6fc8b78b)
;
![{\displaystyle \operatorname {\psi } (316)=65}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd270c26d14d69a42e30ca82696778cf1d566448)
;
ponieważ zaś