Strona:Baranowski - O progresji transcendentalnej.pdf/11

w stopniu a z wykładnikiem, który staje się tem większym, im większym jest wskaźnik wyrazów szeregu (1).
 Te wykładniki wykładnika, za pomocą których wartości wyrazów progresji transcendentalnej różnią się między sobą, nazywać będziemy wykładnikami transcendentalnemi.
 Dokładna wartość tych wykładników transcendentalnych, jak to z powyższych rozwinięć (4) z łatwością się spostrzega, jest następująca:

w wartości $a_{1}$ równa się 1 gdyż $a_{1}=a^{a}={a^{a}}^{1}$
$,,a_{2},,1+a,,a_{2}=a^{a^{1+a}}$
$,,a_{3},,1+a+a^{1+a},,a_{3}=a^{a^{{1+a+a}^{1+a}}}$i t. d.
 Rozpatrując uważnie wartości wykładników transcendentalnych w rozwinięciach (4), znajdujemy nader proste prawo tworzenia się tych wykładników, polegające na tem, że gdy wskaźnik wyrazu progresji transcendentalnej powiększa się o 1, wykładnik transcendentalny powiększa się o a w stopniu równym wykładnikowi transcendentalnemu poprzedzającego wyrazu. To też, jeżeli dla ogólności transcendentalny wykładnik wartości $a_{1}$, równy $1$, oznaczymy przez $\sigma _{(0)}$, a wykładniki transcendentalne następnych wyrazów $a_{2},a_{3},a_{4}...a_{a_{n}}$, przez

$\sigma _{(1)},\sigma _{(2)},\sigma _{(3)}...\sigma _{(a_{m}-1)}$ ^[1], otrzymamy szereg następujących związków:

1. Poczytuję sobie za powinność wyrazić na tem miejscu JMci Ks. Aleksandrowi Dąbrowskiemu, zostającemu czasowo przy kościele katedralnym w Kownie, podziękowanie za okazaną mi w części matematycznej niniejszej pracy niemałą pomoc, która przygotowany spory balast liczbowy uczyniła zbytecznym.
    (Przyp. autora).