Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/16

W rzeczy samej, twierdzenie to jest prawdziwe dla c = 1; brzmi ono wówczas

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

co, z pominięciem różnicy w znakowaniu, nie jest niczym innym, jak równością (1), zapomocą której określiliśmy dodawanie.

Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla c = γ; twierdzę, że będzie ono prawdziwe i dla c = γ + 1; jakoż niechaj będzie

(a + b) + γ = a + (b + γ),

skąd kolejno wyprowadzimy

[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1

albo na podstawie określenia (1)

(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],

skąd wynika, przez szereg dedukcyj czysto analitycznych, że twierdzenie jest prawdziwe dla γ + 1.

Skoro zaś jest ono prawdziwe dla c = 1, tedy kolejno można okazać w sposób powyższy, że jest prawdziwe dla c = 2, dla c = 3, i t. d.

Przemiennościowość. - 1° Twierdzę, że

a + 1 = 1 + a.

Twierdzenie to jest oczywiście prawdziwe dla a = 1; można by sprawdzić zapomocą rozumowań czysto analitycznych, że jeśli jest prawdziwe dla a = γ, to będzie również dla a = γ + 1; otóż jest prawdziwe dla a = 1, będzie więc nim również dla a = 2, dla a = 3, i t. d., co wyraża się, mówiąc, że twierdzenie zostało dowiedzione przez rekurencyę.

2° Twierdzę, że

a + b = b + a.

Twierdzenia tego dowiedliśmy przed chwilą dla b = 1; można sprawdzić analitycznie, że skoro jest ono prawdziwe dla b = β, to będzie również prawdziwe dla b = β + 1.

Twierdzenie jest tedy dowiedzione przez rekurencyę.