Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/167

ślenia suma ta da nam szukaną wartość przeciętną, która zostanie w ten sposób wyrażona zapomocą całki podwójnej.
 Wydawać by się mogło, że ta wartość przeciętna zależeć będzie od wyboru funkcyi φ, określającej gęstość materyi fikcyjnej i że, wobec tego, iż funkcya ta φ jest dowolna, będziemy mogli otrzymać taką lub inną wartość w zależności od wyboru, jaki zrobimy. Pogląd taki zupełnie byłby błędny.
 Prosty rachunek okazuje, że nasza całka podwójna maleje bardzo szybko w miarę tego jak t rośnie.
 Tak tedy nie wiedzieliśmy, jakie zrobić założenie co do prawdopodobieństwa takiego lub innego rozmieszczenia początkowego; ale jakimkolwiek będzie to założenie, dojdziemy zawsze do tego samego wyniku, i to nas wybawia z kłopotu.
 Jakąkolwiek będzie funkcya φ, wartość przeciętna zdąża do zera, gdy t rośnie, że zaś małe planety dokonały z pewnością bardzo wielkiej ilości obiegów, możemy twierdzić, że wartość ta przeciętna jest bardzo mała.
 Możemy wybrać φ, jak nam się podoba, z jednym tylko ograniczeniem: funkcya ta musi być ciągła; i w rzeczy samej z punktu widzenia prawdopodobieństwa subjektywnego wybór funkcyi nieciągłej byłby nierozumny; jaką bowiem racyą miałbym np. przypuścić, że długość początkowa może się równać dokładnie 0° a nie może być zawarta między 0° i 1°?
 Ale trudność zjawia się znowu, skoro stajemy na stanowisku prawdopodobieństwa objektywnego; skoro przechodzimy od naszego rozmieszczenia urojonego, w którym przypuściliśmy, że materya fikcyjna jest ciągła, do rozmieszczenia rzeczywistego, w którym nasze punkty reprezentacyjne tworzą jakby odosobnione atomy.
 Wartość przeciętna sin (at + b) wyrazi się poprostu przez

1/nΣ sin(at + b),