Widzimy, że wniosek każdego sylogizmu służy jako przesłanka mniejsza sylogizmu następnego.
Nadto przesłanki większe wszystkich naszych sylogizmów można sprowadzić do jedynej formuły:
Jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n - 1, to jest prawdziwe i dla n.
Widzimy tedy, że w rozumowaniach przez rekurencyę formułuje się tylko przesłankę mniejszą pierwszego sylogizmu oraz formułę ogólną, zawierającą, jako wypadki szczególne, wszystkie przesłanki większe.
W ten sposób szereg sylogizmów, któryby się nigdy nie skończył, sprowadzony zostaje do zdania kilkuwierszowego.
Łatwo jest teraz zrozumieć, czemu to każdy wynik szczególny danego twierdzenia może zostać sprawdzony — jakeśmy to wyjaśnili wyżej — sposobami czysto analitycznemi.
Gdybyśmy chcieli, zamiast okazać, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb, dowieść tylko, że jest ono prawdziwe dla liczby 6 naprzykład, wystarczyłoby ustanowić 5 pierwszych sylogizmów naszej kaskady; potrzebowaliśmy ich 9 dla liczby 10; potrzebowalibyśmy ich więcej jeszcze dla liczby większej; ale jakkolwiek wielką byłaby ta liczba, potrafilibyśmy zawsze jej dosięgnąć, i każdy wynik możnaby poddać sprawdzeniu analitycznemu.
A jednak, jakkolwiek dalekobyśmy się w ten sposób posunęli, nie wznieślibyśmy się nigdy do twierdzenia ogólnego, stosującego się do wszystkich liczb, a takie jedynie twierdzenie może być przedmiotem nauki. Aby doń dotrzeć trzebaby nieskończonej ilości sylogizmów, trzebaby przebyć przepaść, której cierpliwość analityka, rozporządzającego jedynie środkami logiki formalnej, nie zdoła nigdy zapełnić!
Zadaliśmy sobie na początku pytanie, dlaczego niepodobna wyobrazić sobie umysłu dość potężnego, któryby objął jednym rzutem oka całokształt prawd matematycznych.
Odpowiedź teraz jest łatwa; szachista może skombinować z góry cztery lub pięć posunięć, lecz najlepszy nawet
