Ponieważ pojęcie liczby wymiernej nie zdawało im się nasuwać żadnych trudności, skierowali oni swoje usiłowania przeważnie na określenie liczby niespółmiernej. Zanim wszakże odtworzymy tutaj ich określenie, zrobimy pewną uwagę, aby uprzedzić zdziwienie, któreby określenie to zapewnie wywołało u czytelników mało obytych z nawyknieniami matematyków.
Matematycy nie badają przedmiotów, lecz stosunki między przedmiotami; obojętnym jest im tedy zastąpienie tych przedmiotów przez inne, byle tylko stosunki pozostały niezmienione. Nie obchodzi ich treść, zajmuje ich tylko forma.
Gdybyśmy o tym zapomnieli, nie zrozumielibyśmy, dlaczego Dedekind oznacza przez nazwę liczby niespółmiernej prosty symbol, czyli coś bardzo różnego od wyobrażenia, jakie się ma pospolicie o ilości, jako o czymś nadającym się do pomiaru i niemal dotykalnym.
Oto jest określenie Dedekinda:
Istnieje nieskończona ilość sposobów podziału liczb spółmiernych na dwie klasy takie, iżby każda liczba pierwszej klasy była większa od każdej liczby drugiej klasy.
Zdarzyć się może, że wśród liczb klasy pierwszej znajduje się jedna mniejsza od wszystkich innych; jeżeli np. umieścimy w pierwszej klasie wszystkie liczby większe od 2 oraz samą liczbę 2, w drugiej zaś wszystkie liczby mniejsze od 2, natenczas liczba 2 będzie oczywiście mniejsza od wszystkich liczb klasy pierwszej. Liczbę 2 będzie można wziąć za symbol tego podziału.
Może się też zdarzyć, że wśród liczb klasy drugiej będzie jedna większa od wszystkich innych; zachodzi to np. wówczas, gdy pierwsza klasa zawiera wszystkie liczby większe od 2, druga zaś wszystkie liczby mniejsze od 2 oraz liczbę 2. I w tym wypadku będzie można wziąć liczbę 2 za symbol tego podziału.
Ale zdarzyć się również może, że ani w pierwszej klasie nie będzie liczby mniejszej od wszystkich innych ani w drugiej — liczby większej od wszystkich innych. Przy-
