Podobnież, skoro tylko naprowadzeni zostaliśmy na wstawienie wyrazów pośrednich między dwa kolejne wyrazy szeregu, czujemy, że działanie to może być kontynuowane poza wszelką granicę, i że niema, że tak powiem, żadnej wewnętrznej racyi zatrzymania się.
Niechaj mi będzie wolno, dla krótkości wysłowienia, nazwać continuum matematycznym pierwszego rzędu każdy zbiór wyrazów, utworzony według tego samego prawa, co drabina liczb spółmiernych. Jeżeli wpleciemy następnie nowe szczeble według prawa tworzenia się liczb niespółmiernych, otrzymamy continuum matematyczne drugiego rzędu.
Drugie stadyum. — Zrobiliśmy dopiero pierwszy krok; wytłumaczyliśmy pochodzenie continuów pierwszego rzędu; trzeba teraz zbadać, dlaczego okazały się one niewystarczającemi i dlaczego trzeba było wynaleźć liczby niespółmierne.
Jeżeli wyobrażamy sobie linię, to zawsze posiada ona charakter continuum fizycznego, t. j. wyobrażamy ją sobie jako posiadającą pewną szerokość. Dwie linie przedstawiać nam się będą w postaci dwu wąskich wstęg i jeśli zadowolimy się tym grubym obrazem tedy oczywistym będzie, że linie te, przecinając się, posiadają pewną część wspólną.
Ale czysty geometra zdobywa się na jeszcze jeden wysiłek: nie zrzekając się całkowicie pomocy swych zmysłów, chce on dojść do pojęcia linii bez szerokości, punktu bez rozciągłości. Dopiąć tego może jedynie przez rozważanie linii, jako granicy, do której zdąża wstęga coraz węższa, a punktu jako granicy, do której zdąża pole coraz to mniejsze. Wobec tego dwie nasze wstęgi, jakkolwiek wąskie, będą zawsze posiadały wspólne pole tym mniejsze im będą węższe, a granicą tego wspólnego pola będzie to, co geometra czysty nazywa punktem.
Dlatego to mówi się, że dwie przecinające się linie posiadają punkt wspólny i prawda ta wydaje nam się intuicyjną.
Tkwiłaby w niej atoli sprzeczność, gdybyśmy pojmowali linie, jako continua pierwszego rzędu, t. j. gdyby na liniach,
