kreślonych przez geometrę, miały się znajdować jedynie punkty, których spółrzędne są liczbami spółmiernemi. Sprzeczność ta stałaby się jawną, skoro byśmy założyli np. istnienie prostych i kół.
W rzeczy samej, gdyby jedynie punkty o spółrzędnych spółmiernych były uważane za punkty rzeczywiste, okrąg wpisany do kwadratu i przekątna tego kwadratu nie przecinałyby się, oczywiście, spółrzędne bowiem punkty ich przecięcia są niespółmierne.
Nie wystarczałoby to jednak; tym bowiem sposobem mielibyśmy niektóre tylko liczby spółmierne, lecz nie wszystkie.
Wyobraźmy sobie teraz prostą, podzieloną na dwie półproste. Każda z nich przedstawia się naszej wyobraźni, jako wstęga o pewnej szerokości; wstęgi te będą zresztą końcami swemi następowały na siebie, gdyż nie ma być między niemi odstępu. Część wspólna przedstawi się nam jako punkt, który istnieć będzie ciągle, jakkolwiek wąskiemi będziemy sobie wyobrażali nasze wstęgi; przyjmiemy tedy jako prawdę intuicyjną, że jeśli prosta jest podzielona na dwie półproste, wspólne ich pogranicze jest punktem. Poznajemy tu koncepcyę Dedekinda, w której liczba niespółmierna jest rozpatrywana jako granica wspólna dwu klas liczb spółmiernych.
Takie jest pochodzenie continuum drugiego rzędu, które stanowi właściwe continuum matematyczne.
Streszczenie. — Umysł posiada zdolność tworzenia symbolów i w ten to sposób zbudował continuum matematyczne, które jest pewnym tylko szczególnym układem symbolów. Jedynym ograniczeniem tej potęgi umysłu jest konieczność unikania wszelkiej sprzeczności; atoli umysł korzysta z tej swojej zdolności o tyle tylko, o ile doświadczenie daje mu do tego powód.
W zajmującym nas wypadku powodem tym było pojęcie continuum fizycznego, zaczerpnięte z surowych danych zmysłowych. Lecz pojęcie to prowadzi do szeregu sprzeczności, od których trzeba się kolejno wyzwalać. W ten sposób je-
