steśmy zmuszeni do budowania coraz bardziej skomplikowanego układu symbolów. Układ, na którym się zatrzymamy, jest nietylko wolny od wszelkiej sprzeczności wewnętrznej — bo takim był już na wszystkich kolejnych etapach — ale jest on nadto w zgodzie z poszczególnemi twierdzeniami, które nazywamy intuicyjnemi, a które są wyprowadzone z mniej lub bardziej obrobionych pojęć empirycznych.
Wielkość wymierzalna. — Wielkości, któreśmy rozpatrywali dotychczas, nie są wymierzalne; umiemy wprawdzie powiedzieć, czy jedna z tych wielkości jest większa od drugiej, lecz nie — czy jest większa dwa lub trzy razy.
Jakoż zajmowaliśmy się dotychczas jedynie porządkiem, w jakim wyrazy nasze są uszeregowane. Dla większości zastosowań nie jest to przecież wystarczające. Należy się nauczyć porównywania odstępów, oddzielających dwa jakiekolwiek wyrazy. Pod tym dopiero warunkiem continuum staje się wielkością wymierzalną i można doń zastosować działania arytmetyki.
W tym celu należy wprowadzić nową a specyalną umowę. Umówimy się, że w takim a takim wypadku odstęp, zawarty między wyrazami A i B jest równy odstępowi, oddzielającemu C i D. Na początku naszej pracy np. wyszliśmy ze skali liczb całkowitych i przypuściliśmy, że się wstawia między każde dwa kolejne stopnie n stopni pośrednich; otóż mocą umowy nowe te stopnie będziemy uważali za jednakowo od siebie oddalone.
Jest to zarazem sposób określenia dodawania dwu wielkości; skoro bowiem na mocy określenia odstęp AB jest równy odstępowi CD, odstęp AD będzie na mocy tegoż określenia sumą odstępów AB i AC.
Określenie to jest dowolne w znacznej bardzo mierze, lecz przecie nie zupełnie. Podlega ono pewnym warunkom, naprzykład prawidłu przemiennościowemu i łącznościowemu dodawania. Byle tylko określenie czyniło zadość tym regu-
