ciągu, a wśród których wymienić wypada badania Beltramiego i Helmholtza.
Geometrya Łobaczewskiego. — Gdyby można było wyprowadzić postulat Euklidesa z pozostałych pewników, tedy zaprzeczenie tego postulatu łącznie z przyjęciem pozostałych pewników doprowadziłoby oczywiście do wyników sprzecznych; niemożliwym więc byłoby zbudować na takich przesłankach logicznie spójną geometryę.
Otóż Łobaczewski taką właśnie geometryę zbudował. Zakłada on na samym wstępie, że:
Przez dany punkt można przeprowadzić kilka równoległych do danej prostej.
Pozatym jednak zachowuje wszystkie inne pewniki Euklidesa. Z założeń tych wyprowadza on szereg twierdzeń nie zawierających żadnej sprzeczności, i buduje geometryę, której logika wewnętrzna nie ustępuje w niczym logice geometryi euklidesowej.
Twierdzenia te różnią się oczywiście bardzo od twierdzeń, do których jesteśmy przyzwyczajeni, i z początku nieco nas dziwią.
Tak naprzykład »Suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza od dwu prostych, i różnica między tą sumą a dwoma prostemi jest proporcyonalna do pola trójkąta«.
»Niemożliwe jest zbudować figurę podobną do figury danej lecz o innych rozmiarach«.
»Podzielmy okrąg na n równych części i poprowadźmy styczne w punktach podziału; styczne te utworzą wielokąt, jeżeli promień okręgu jest dostatecznie mały; — jeżeli natomiast jest on dostatecznie wielki, styczne nie spotkają się«.
Zbyteczne byłoby mnożenie tych przykładów; twierdzenia Łobaczewskiego różnią się zasadniczo od twierdzeń Euklidesa, niemniej wszakże są one logicznie ze sobą powiązane.
Geometrya Riemanna. — Wyobraźmy sobie świat, zaludniony wyłącznie przez istoty pozbawione grubości; przy-
