puśćmy nadto, że te »nieskończenie płaskie« zwierzęta znajdują się wszystkie w jednej płaszczyźnie i nie mogą z niej wyjść. Przypuśćmy jeszcze, że świat ten jest dostatecznie oddalony od innych, aby nie ulegać ich wpływom. Skoro już gromadzimy przypuszczenia, tedy nic nam nie przeszkadza obdarzyć istoty te władzą rozumowania i uważać je za zdolne do zajmowania się geometryą. W geometryi swojej nadadzą one oczywiście przestrzeni dwa tylko wymiary.
Przypuśćmy jednak z kolei, że urojone te żyjątka pozostając nadal bez grubości, mają postać figur sferycznych nie zaś płaskich i znajdują się wszystkie na jednej kuli, od której nie mogą się oderwać. Jakąż będą one mogły zbudować geometryę? Przedewszystkim, oczywiście przypiszą one przestrzeni dwa tylko wymiary; rolę linii prostej dla nich grać będzie najkrótsza droga między dwoma punktami kuli, czyli łuk wielkiego koła; jednym słowem, geometrya ich będzie geometryą sferyczną.
Przestrzenią nazywać będą powierzchnię kulistą, z której nie mogą się wydostać i na której odbywają się wszystkie zjawiska, dostępne dla ich poznania. Przestrzeń ich nie będzie więc miała granic, gdyż można po kuli posuwać się ustawicznie przed siebie, nie trafiając nigdy na przeszkodę; będzie wszakże skończona; nigdy nie dojdzie się do jej krańca, lecz będzie można obejść ją dookoła.
Otóż geometrya Riemanna — to geometrya sferyczna, rozciągnięta do trzech wymiarów. Aby ją zbudować, matematyk niemiecki musiał odrzucić nietylko postulat Euklidesa, ale nadto pierwszy pewnik, który brzmi: Przez dwa punkty można przeprowadzić jedną tylko prostą.
Przez dwa punkty dane na kuli można przeprowadzić naogół jedno tylko wielkie koło (które, jakeśmy widzieli, odgrywa dla naszych istot urojonych rolę linii prostej); istnieje wszakże wyjątek: jeżeli dwa dane punkty są średnicowo przeciwległe, można przez nie przeprowadzić nieskończoną liczbę wielkich kół.
Podobnież w geometryi Riemanna (a przynajmniej w je-
