Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/42

dnej z jej postaci) przez dwa punkty będzie przechodziła na ogół jedna tylko prosta; istnieją wszakże wypadki wyjątkowe, dla których przez dwa punkty będzie przechodziło nieskończenie wiele prostych.
 Między geometryą Riemanna a geometryą Łobaczewskiego zachodzi pewnego rodzaju przeciwstawność.
 Tak naprzykład suma kątów trójkąta jest:
 równa dwu prostym w geometryi Euklidesa,
 mniejsza od dwu prostych w geometryi Łobaczewskiego,
 większa od dwu prostych w geometryi Riemanna.
 Liczba równoległych do danej prostej, które można przeprowadzić przez dany punkt jest równa:
 Jedności w geometryi Euklidesa,
 Zeru w geometryi Riemanna,
 Nieskończoności w geometryi Łobaczewskiego.
 Dodajmy, że przestrzeń Riemanna jest skończona, jakkolwiek nieograniczona, w powyższym znaczeniu wyrazów.

 Powierzchnie o stałej krzywiźnie. — Pozostawał atoli jeszcze jeden możliwy zarzut. Wprawdzie twierdzenia Łobaczewskiego i Riemanna nie zawierają żadnej sprzeczności; lecz jakkolwiek licznemi byłyby konsekwencye, które ci matematycy wyprowadzili ze swych założeń, musieli się oni zatrzymać, zanim te konsekwencye wyczerpali, boć ilość ich możnaby zwiększać do nieskończoności; któż więc zaręczy nam, że, jeśliby posunęli oni dalej swoje dedukcye, nie napotkaliby wreszcie jakiejś sprzeczności?
 Wątpliwość ta nie zachodzi dla geometryi Riemanna, o ile ograniczymy się do dwóch wymiarów, albowiem dwuwymiarowa geometrya Riemanna nie różni się, jak widzieliśmy, od geometryi sferycznej, która jest gałęzią geometryi zwykłej, a więc stoi poza wszelką dyskusyą.
 Beltrami sprowadził dwuwymiarową geometryę Łobaczewskiego również do jednej z gałęzi geometryi zwykłej i tym samym odparł ów zarzut w stosunku do niej.
 Osiągnął on to w sposób następujący. Rozważmy na