pewnej powierzchni dowolną figurę. Wyobraźmy sobie, że figura ta jest nakreślona na giętkim i nierozciągliwym płótnie, rozpostartym na tej powierzchni tak, iż przy zmianie miejsca i kształtu tego płótna poszczególne linie figury mogą zmieniać swój kształt, zachowując wszakże długość. Naogół giętka ta i nierozciągliwa figura nie będzie mogła się przesuwać, nie opuszczając tej powierzchni; istnieją przecież pewne powierzchnie szczególne, na których ruch taki jest możliwy: są to powierzchnie, o stałej krzywiznie.
Jeżeli powrócimy do porównania, którym posługiwaliśmy się już wyżej, i wyobrazimy sobie istoty pozbawione grubości, żyjące na jednej z takich powierzchni, będą one uważały za możliwy ruch figury, której wszystkie linie zachowują długość stałą. Ruch taki wydawałby się natomiast niedorzecznym żyjątkom dwuwymiarowym, przebywającym na powierzchni o krzywiznie zmiennej.
Powierzchnie te o krzywiznie stałej rozpadają się na dwie klasy:
Jedne posiadają krzywiznę dodatnią i mogą po odkształceniu zostać rozpostarte na kuli. Geometrya tych powierzchni sprowadza się więc do geometryi sferycznej, czyli geometryi Riemanna.
Inne posiadają krzywiznę ujemną. Beltrami okazał, że geometrya tych powierzchni jest taka sama, jak geometrya Łobaczewskiego. Geometrye dwuwymiarowe Riemanna i Łobaczewskiego dały się więc wprowadzić w związek z geometryą euklidesową.
Interpretacya geometryi nie-euklidesowych. — W ten sposób znika ostatni zarzut w stosunku do geometryi dwuwymiarowych.
Nie trudno byłoby rozciągnąć rozumowanie Beltramiego na geometrye trójwymiarowe. Umysły, których nie odstręcza przestrzeń czterowymiarowa, nie będą w tym widziały żadnej trudności, nie są one jednakże liczne. Obierzmy tedy inną drogę.
