Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/45

Istotnie bowiem, gdyby dwa twierdzenia Łobaczewskiego przeczyły sobie, to samo zachodziłoby dla przekładów dwu tych twierdzeń, dokonanych zapomocą naszego słownika; ale przekłady te są twierdzeniami geometryi zwykłej, a nikt nie wątpi, że geometrya zwykła wolna jest od sprzeczności. Skąd pochodzi ta pewność i czy da się usprawiedliwić? Jest to kwestya, której nie możemy rozważać tutaj, gdy wymagałaby ona dłuższych wywodów.
 W każdym razie, zarzut przytoczony powyżej upada zupełnie.
 Lecz to jeszcze nie wszystko. Geometrya Łobaczewskiego, skoro nadaje się do interpretacyi konkretnej, przestaje być próżnym ćwiczeniem logicznym i może znaleźć zastosowania; nie mogę mówić tutaj o tych zastosowaniach ani o ich wyzyskaniu przez Feliksa Kleina i przezemnie dla całkowania równań liniowych.
 Interpretacya ta nie jest zresztą jedyną, i możnaby sporządzić kilka słowników analogicznych do powyższego, a wszystkie pozwoliłyby nam na przekształcenie zapomocą prostego »przekładu« twierdzeń Łobaczewskiego na twierdzenia geometryj zwykłej.

 Pewniki utajone. — Czy pewniki, jawnie sformułowane w wykładach geometryi, są jedynemi jej podstawami? Można być z góry pewnym, że tak nie jest, skoro po kolejnym ich odrzuceniu pozostała jeszcze pewna liczba twierdzeń wspólnych teoryom Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna. Twierdzenia te muszą opierać się na jakichś przesłankach, które geometrzy zakładają, nie formułując ich jawnie. Ciekawe byłoby wydzielenie ich z dowodzeń klasycznych.
 Stuart-Mili twierdził, że każde określenie zawiera w sobie pewnik, albowiem określając, zakładamy domyślnie istnienie określanego przedmiotu. Posunął on się przecież zbyt daleko; w matematyce zdarza się rzadko, by po określeniu nie dawano dowodu istnienia określonego przedmiotu, a kiedy sobie tego oszczędzamy, to zazwyczaj dlatego, że czytelnik