dzenia Łobaczewskiego i Riemanna, ale równie jak tamte wolnych od wszelkich sprzeczności.
Przytoczę jedno tylko z tych twierdzeń, i to nie najosobliwsze: prosta rzeczywista może być do siebie samej prostopadła.
Twierdzenie Liego. — Liczba pewników wprowadzonych domyślnie do dowodzeń klasycznych jest większa, niżby to było niezbędne; interesujące więc byłoby sprowadzenie ich do minimum. Możnaby sobie uprzednio zadać pytanie, czy jest to wogóle możliwe, czy liczba pewników niezbędnych i liczba geometryi możliwych nie jest nieskończona.
Nad całą tą kwestyą góruje pewne twierdzenie, podane przez Sophusa Liego. Można je tak wysłowić:
Przypuśćmy następujące przesłanki:
1° Przestrzeń posiada n wymiarów;
2° Ruch figury niezmiennej jest możliwy;
3° Trzeba p warunków, aby oznaczyć położenie tej figury w przestrzeni.
Natenczas liczba różnych geometryi zgodnych z temi przesłankami będzie ograniczona.
Możemy nawet dodać, że jeśli n jest dane, to można wyznaczyć dla p pewną górną granicę.
Jeżeli więc zakłada się możliwość ruchu (bez odkształcenia) liczba geometryi trójwymiarowych, które możnaby wymyślić, jest skończona (a nawet dość niewielka).
Geometrye Riemanna. — Wynikowi temu przeczą napozór badania Riemanna, który skonstruował nieskończenie wiele różnych geometryi, a ta, której zazwyczaj daje się jego imię, jest tylko wypadkiem szczególnym.
Wszystko zależy, powiada on, od sposobu, w jaki określa się długość krzywej. Otóż istnieje nieskończenie wiele sposobów określenia tej długości, a każdy z nich może się stać punktem wyjścia nowej geometryi.
