Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/49

 Jest to całkiem słuszne, lecz większość tych określeń nie da się pogodzić z ruchem figury niezmiennej, którego możliwość zakłada się w twierdzeniu Liego. Te geometrye Riemanna, lubo wielce interesujące pod wielu względami, pozostałyby więc zawsze czysto analitycznemi i nie nadawałyby się do dowodzeń analogicznych do euklidesowych.

 O istocie pewników. — Większość matematyków uważa geometryę Łobaczewskiego za prostą tylko ciekawostkę logiczną; niektórzy wszakże idą dalej. Skoro kilka jest geometryi możliwych, czyż pewnym jest, że prawdziwą jest nasza? Wprawdzie doświadczenie nas uczy, że suma kątów w trójkącie jest równa dwóm prostym; ale to dlatego, że operujemy tylko zbyt małemi trójkątami; różnica jest, według Łobaczewskiego, proporcyonalna do pola trójkąta: czy nie może się ona stać dostrzegalną, gdy będziemy mieli do czynienia z trójkątami większemi, albo też gdy pomiary nasze staną się dokładniejsze? Geometrya euklidesowa byłaby w takim razie tylko prowizoryczną.
 Ażeby roztrząsnąć ten pogląd, musimy przedewszystkim zadać sobie pytanie, jaka jest istota pewników geometrycznych?
 Czy są to sądy syntetyczne a priori, jak mówił Kant?
 Gdyby tak było, narzucałyby się nam one z siłą taką, że nie moglibyśmy wprost pojmować twierdzeń przeciwnych ani też budować na nich gmachów teoretycznych. Nie byłoby więc geometryi nieeuklidesowej.
 Aby się o tym przeświadczyć, weźmy prawdziwy sąd syntetyczny a priori, ten naprzykład, którego rolę przemożną okazaliśmy w rozdziale pierwszym:
 Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1 i jeżeli dowiedziono, że jest ono prawdziwe dla n +1, skoro jest nim dlan, tedy będzie ono prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.
 Spróbujmyż wyzwolić się od tego twierdzenia i przyj-