Dochodzimy do tak nazwanej przez Couturat teorji porządkowej, która jest podstawą właściwej arytmetyki. Couturat zaczyna od sformułowania pięciu pewników Peana, które są niezależne, jak tego dowiedli Peano i Padoa.
1. Zero jest liczbą całkowitą.
2. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby całkowitej.
3. Następnikiem liczby całkowitej jest liczba całkowita, do czego należałoby dodać:
każda liczba całkowita posiada następnik.
4. Dwie liczby całkowite są równe, jeżeli ich następniki są równe.
5-tym pewnikiem jest zasada indukcji zupełnej.
Couturat uważa te pewniki za przebrane definicje; stanowią one definicję przez postulaty: zera, »następnika« i liczby całkowitej.
Lecz widzieliśmy, że definicja przez postulaty wówczas tylko się nadaje, jeśli można dowieść, że nie zawiera ona w sobie sprzeczności.
Czy tak się rzeczy tutaj mają? Bynajmniej.
Dowodu nie można przeprowadzić przez przykład. Niemożna wybrać części liczb całkowitych np. trzy pierwsze, i okazać, że czynią one zadość definicji.
Jeżeli wezmę serję O, 1, 2 widzę wprawdzie, że czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5; ale żeby czyniła zadość pewnikowi 3, trzeba jeszcze, żeby 3 było liczbą całkowitą a więc, żeby serja 0, 1, 2, 3 czyniła zadość pewnikom; jakoż czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5, lecz pewnik 3 wymaga nadto, żeby 4 było liczbą całkowitą, i żeby serja 0, 1, 2, 3, 4 czyniła zadość pewnikom, i tak dalej.
Jest tedy niemożliwym przeprowadzenie dowodu pewników dla kilku liczb całkowitych bez przeprowadzenia tego dowodu dla wszystkich; trzeba się zrzec dowodu przez przykład.
Strona:H. Poincaré-Nauka i Metoda.djvu/129
Ta strona została uwierzytelniona.
V.
Arytmetyka.