Trzeba zatym wziąć wszystkie konsekwencje naszych pewników i zobaczyć, czy niema w nich sprzeczności. Gdyby ilość tych konsekwencji była skończona, byłoby to łatwe; ale jest ich nieskończoność; jestto cała matematyka albo przynajmniej cała arytmetyka.
Cóż tedy robić? Ostatecznie możnaby, być może, powtórzyć rozumowanie z Nr. III.
Ale, jak powiedzieliśmy, rozumowanie to jest indukcją zupełną, a idzie właśnie o sprawdzenie zasady indukcji zupełnej.
Przystąpmy z kolei do kapitalnej pracy Hilberta, którą przedstawił kongresowi matematyków w Heidelbergu, i której przekład francuski, dokonany przez Piotra Boutroux pojawił się w Enseignement mathematique jednocześnie z przekładem angielskim Halsteda w The Monist. W pracy tej, zawierającej myśli wielkiej głębokości, autor kładzie sobie cel podobny do celu Russella, lecz odchyla się w wielu punktach od swego poprzednika.
»Jednakże, mówi on, jeśli patrzeć zbliska, to okaże się, że w zasadach logicznych w postaci, jaką się im zwykle nadaje, tkwią już pewne pojęcia arytmetyczne, np. pojęcie Zespołu i, w pewnej mierze, pojęcie Liczby. W ten sposób wpadamy w błędne koło, i dlatego to, aby usunąć możliwość jakiegokolwiek paradoksu, zdawało mi się koniecznym rozwinąć jednocześnie zasady Logiki i zasady Arytmetyki«.
Widzieliśmy wyżej, że to, co mówi Hilbert o zasadach Logiki w postaci, jaką się im zwykle nadaje, stosuje się również do logiki Russella. Tak tedy dla Russella Logika poprzedza Arytmetykę; dla Hilberta są one »jednoczesne«. Znajdziemy później inne, bardziej jeszcze głębokie różnice. Wskażemy na nie w miarę ich ujawniania się, tym-
