Streszczając:
Dowód jest niezbędny.
Jedynym dowodem możliwym jest dowód przez rekurencję.
Jest on uprawniony o tyle tylko, o ile przyjmie się zasadę indukcji, i zasadę tę uważa się nie za definicję lecz za sąd syntetyczny.
Przejdę teraz do rozpatrzenia nowej rozprawy Russella. Rozprawa ta została napisana w celu pokonania trudności, wywołanych przez owe antynomje cantorowskie, do których wielekroć już robiliśmy aluzje. Cantor sądził, że może zbudować Naukę Nieskończoności; inni również poszli po drodze, przezeń otworzonej, lecz rychło potknęli się o dziwne sprzeczności. Z pośród tych licznych już sprzeczności najsławniejszemi są:
1-o Antynomja Burali-Fortiego;
2-o Antynomja Zermelo-Königa;
3-o Antynomja Richarda.
Cantor dowiódł, że liczby porządkowe (idzie tu o liczby porządkowe nadskończone, pojęcie nowe przezeń wprowadzone) mogą być uszykowane w szereg linjowy, to znaczy, że z dwu liczb porządkowych nierównych, jedna jest zawsze mniejsza od drugiej. Burali-Forti dowodzi, że jest przeciwnie; jakoż, brzmi w streszczeniu jego rozumowanie, jeżeliby można było uszykować wszystkie liczby porządkowe w szereg linjowy, szereg ten definjowałby liczbę porządkową większą od wszystkich innych; możnaby do niej dodać jeszcze 1, co dałoby liczbę porządkową jeszcze większą, co jest sprzeczne z powyższym.
Powrócimy później do antynomji Zermelo-Königa o charakterze nieco odmiennym; a oto na czym polega antynomja Richarda (Revue générale des Sciences, 30 czerwca
