1905). Rozważmy wszystkie liczby dziesiętne, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów; dziesiętne te liczby stanowią zespół E; i łatwo jest stwierdzić, że zespół ten jest odliczalny, to znaczy, że można ponumerować poszczególne liczby dziesiętne tego zespołu od 1 do nieskończoności. Przypuśćmy, że to ponumerowanie zostało dokonane, i zdefinjujmy liczbę N w następujący sposób, Jeżeli n-y znak dziesiętny n-ej liczby zespołu E jest
tedy n-ym znakiem dziesiętnym liczby N będzie
Jak stąd widać, N nie jest równe n-ej liczbie E, a ponieważ n jest jakiekolwiek, przeto N nie należy do E, a przecież N powinnoby należeć do tego zespołu, boć zdefinjowaliśmy je zapomocą skończonej ilości słów.
Zobaczymy później, że sam Richard dał wielce przenikliwe wytłumaczenie tego paradoksu, i że wytłumaczenie to daje się rozciągnąć mutatis mutandis na inne analogiczne paradoksy. Russell przytacza nadto jeszcze jedną dość zabawną antynomję.
Jaka jest najmniejsza zpośród wszystkich liczb, których nie można zdefinjować za pomocą zdania utworzonego z mniej niż stu polskich wyrazów?
Liczba ta istnieje; albowiem ilość liczb, które można zdefinjować zapomocą takiego zdania, jest skończona, gdyż ilość wyrazów w języku polskim jest skończona; zatym wśród nich będzie jedna liczba mniejsza od wszystkich innych.
A jednak — z drugiej strony — liczba ta nie istnieje, gdyż w definicji jej tkwi sprzeczność. Liczba ta jest bowiem zdefinjowana przez zdanie wydrukowane kursywą, które jest utworzone z mniej niż stu polskich wyrazów; a mocą definicji liczba ta nie powinna móc być zdefinjowana zapomocą takiego zdania.
