Jaki mamy zrobić wybór z pośród tych różnych teorji? Sądzę, że rozwiązanie jest zawarte w liście Richarda, o którym mówiłem wyżej, i który można znaleźć w Revue Générale des Sciences z 30 czerwca 1905 r. Wyłożywszy antynomję, którą nazwaliśmy antynomją Richarda, daje on jej wytłumaczenie.
Przypomnijmy sobie, cośmy powiedzieli o tej antynomji w § V; E jest zespołem wszystkich liczb, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów, nie wprowadzając pojęcia samego zespołu E. W przeciwnym razie definicja E zawierałaby błędne koło; nie można definjować E przez sam zespół E. Otóż zdefinjowaliśmy N wprawdzie zapomocą skończonej ilości słów, lecz opierając się na zespole E. I dlatego N nie stanowi części E.
W przykładzie, wybranym przez Richarda, wniosek nasuwa się z całą oczywistością, i oczywistość ta wyda się jeszcze większą, kiedy odniesiemy się do samego tekstu jego listu. I to samo wytłumaczenie stosuje się do innych antynomji, jak łatwo jest sprawdzić.
Tak więc definicjami, które należy uważać za niepredykatywne, są te, które zawierają błędne koło. Przykłady, rozpatrzone powyżej, dostatecznie wykazują, co przez to rozumiem. Czy to właśnie Russell nazywa »zigzag-giness«? Pytanie to zadaję, nie rozwiązując go.
Rozpatrzmy teraz domniemane dowody zasady indukcji, w szczególności dowody Whiteheada i Burali-Fortiego.
Rozpocznijmy od dowodu Whiteheada i skorzystajmy z kilku nowych terminów, szczęśliwie wprowadzonych przez Russella w jego świeżej rozprawie.
