Nazwijmy klasą rekurentną, wszelką klasę liczb, zawierającą zero, oraz zawierającą n + 1 o ile zawiera n.
Nazwijmy liczbą induktywną wszelką liczbę, wchodzącą do wszystkich klas rekurentnych.
Pod jakim warunkiem ta ostatnia definicja, odgrywająca istotną rolę w dowodzie Whiteheada, będzie »predykatywną«, a przeto się nada?
Według tego, co poprzedza, przez wszystkie klasy rekurentne należy rozumieć wszystkie te, do których definicji nie wchodzi pojęcie liczby induktywnej.
W przeciwnym razie wpadamy znowu w błędne koło, które zrodziło antynomje.
Otóż Whitehead nie zachował tej ostrożności.
Rozumowanie Whiteheada jest tedy wadliwe; jestto to samo rozumowanie, które doprowadziło do antynomji; było ono nieprawnym, kiedy dawało rezultaty błędne; pozostaje nieprawnym, kiedy wypadkiem prowadzi do rezultatu prawdziwego.
Definicja, zawierająca błędne koło, nie definjuje nic. Nic nie pomoże powiedzenie, że jesteśmy pewni, jakiekolwiek znaczenie nadamy naszej definicji, że przynajmniej zero należy do klasy liczb induktywnych; nie o to idzie, czy klasa ta jest próżna, lecz o to, czy można ją ściśle odgraniczyć. Klasa »niepredykatywna« to nie jest klasa próżna, lecz klasa, której granice są niewyraźne.
Zbyteczna zaznaczyć, że szczególny ten zarzut pozostawia nietkniętemi zarzuty ogólne, stosujące się do wszystkich dowodów.
Burali-Forti dał inny dowód w swym artykule Le Classi finite (»Atti di Torino«, t. XXXII). Lecz musi on przyjąć dwa postulaty:
Pierwszy, że istnieje zawsze przynajmniej jedna klasa nieskończona.
