Strona:H. Poincare-Wartość nauki.djvu/76

ruchów, którym towarzyszą, palec mój pozostaje nieruchomym. Twierdzę, że, skoro nie uważamy jako różne od siebie szeregi Σ i Σ + σ, gdzie σ odpowiada ruchom, podczas których palec się nie porusza, ogół szeregów stanowić będzie continuum trójwymiarowe, że natomiast, skoro uważalibyśmy każde dwa szeregi Σ i Σ′ jako różne byle tylko nie było Σ′ = Σ + S + S′ (gdzie S i S′ są odwrotne względem siebie), ogół szeregów stanowiłby continuum o większej od trzech liczbie wymiarów.
 Istotnie, niechaj A będzie powierzchnią w przestrzeni, B — linią na tej powierzchni, M — punktem na tej linii; C₀ niechaj oznacza ogół wszystkich szeregów Σ, zaś C₁ ogół takich szeregów Σ, iż przy końcu odpowiednich ruchów palec znajduje się na powierzchni A, i podobnie niechaj C₂, względnie C₃ będzie ogółem takich szeregów Σ, iż na końcu odpowiednich szeregów ruchów palec znajduje się na linii B, względnie w punkcie M. Oczywista jest nasamprzód, że C₁ będzie przekrojem dzielącym C₀, dalej C₂ — przekrojem dzielącym C₁ i wreszcie C₃ przekrojem dzielącym C₂. Stąd zaś, według naszych określeń, wynika, że, skoro C₃ stanowi continuum n — wymiarowe, C₀ będzie tworzyło continuum fizyczne o n + 3 wymiarach.
 Niechaj tedy Σ i Σ′ = Σ + σ będą dwa szeregi wchodzące w skład C₃; dla każdego z nich w końcu ruchów palec znajduje się w M; wynika stąd, że na początku i na końcu szeregu σ palec znajduje się w tym samym punkcie M. Szereg σ jest więc jednym z szeregów odpowiadających ruchom, przy których palec pozostaje nieruchomy. Skoro nie uważamy Σ i Σ + σ jako różne, wszystkie szeregi należące do C₃ zleją się w jeden jedyny; C₃ będzie więc miało wymiar zero, zaś C₀, czego chciałem właśnie dowieść, będzie miało trzy wymiary. Jeżeli natomiast nie uważamy Σ i Σ + σ jako tożsame (byle tylko nie było σ = S + S′, gdzie S, S′ są względem siebie odwrotne), C₃ będzie oczywiście zawierało wielką liczbę szeregów czuć różnych; albowiem, nie bacząc na to, że palec się nie porusza, ciało może przybierać mnóstwo