Strona:PL Auerbach Arytmetyka grecka u szczytu rozwoju.pdf/14

a > bm, czyli a/m > b. Nierówność b < a/m mówi to samo, co Diofantos w swem zastrzeżeniu. Takich zastrzeżeń, umieszczonych tuż po postawieniu zagadnienia a przed samem rozwiązywaniem, jest dużo, nieraz bardzo trudnych i zawiłych. Wybrałem tu nadzwyczaj łatwe, co wynika choćby już z tego, że jest w 6 zadaniu ks. I, więc całkiem na początku, gdzie są zadania same łatwe. Ale co z nich wynika? Wynika, zdaniem mojem, jasno, że Diofantos kryje się z metodą, z analizą, która prowadzi do rozwiązania ogólnego, lecz woli olśniewać genjalnością w różnych sposobach rozwiązywania, zastosowanych do każdego poszczególnego wypadku, choć znał – jak widać — metody ogólne.
 Lwia część zadań w arytmetyce Diofantosa przypada na równania nieoznaczone. Na tem polu jest Diofantos pionjerem. Rzecz jasna, że także w równaniach nieoznaczonych niema rozwiązań liczbami ujemnemi lub niewymiernemi, tylko dodatniemi, to znaczy większemi od zera liczbami całkowitemi lub ułamkowemi.
 Rzecz dziwna, że trudno dopatrzeć się w tej partji zadań jakiejś metody czy kilku metod. Jeden z najwybitniejszych historyków matematyki greckiej, Nesselmann, w dziele Die Algebra der Griechen na stronicy 355 powiada: przedstawić metody Diofantosa — znaczyłoby całą jego książkę odpisać. W tych słowach Nesselmanna mieści się przyznanie, że Diofantos nie miał metod, z których każda rozwiązywałaby jakąś grupę zadań. Mimo że trudno metody jego podpatrzeć, sądzę, że Diofantos metody ogólne miał, do których doszedł drogą analizy, jak to starałem się pokazać przy równaniach oznaczonych, ale drogę tę przed czytelnikiem zakrył. Nie pokazał, jaką drogą doszedł do rozwiązywania zagadnień pewnego typu.
 Tem więcej olśniewa mistrzostwo jego w rozwiązywaniu równań nieoznaczonych. Mistrzostwo to okazuje się przedewszystkiem w wyborze wyrażenia, które on oznacza jako niewiadomą x (αοριστον). Tak zgrabnie, tak po mistrzowsku wyszukuje tę niewiadoma, że rozwiązanie samo staje się nad wyraz łatwe. Może wyjaśnią to przykłady. Weźmy przykład prosty: zadanie 19 z ks. II, które tak wygląda: x² ― y²/y² ― z² = 3 (Znaleść trzy kwadraty takie, aby różnica największego i średniego była do różnicy średniego i najmniejszego w danym stosunku. Niechaj różnica będzie trzykrotnością różnicy).
 Wstawiwszy x = z + u + v, y = z + v, otrzymamy z = 1/2, 3v² ― u² + 2uv)/u ― 3v. Więc z będzie wtedy dodatnie, jeśli u² + 2uv < 3v² a 3v < u.