Takiej analizy Diofantos nie przeprowadza. Ale z budowy jego rozwiązania przeziera, — jakby przez gęstą mgłę — że taką lub podobną analizę przeprowadził, czy na papierze, czy też raczej, co jest prawdopodobniejsze w pamięci. Taki dar widzenia całego naraz zadania musiał mieć, skoro tak trafnie dobiera niewiadome, jak to zaraz zobaczymy. Najmniejszą niewiadomą nazywa x², środkową nazywa x² + 2x + 1 (kwadrat dwumianu x + 1); więc największa będzie — mówi Diofantos: x²+ 8x +4. Skąd to? Oto największa mniej średnia = 3 (średnia mniej najmniejsza). Nazwijmy największą X²; będziemy mieli: X² — x² — 2x – 1 = 3(x² + 2x + 1 ― x²), stąd X² = x² + 8x + 4. Najmniejsza jest kwadratem: x²; średnia jest kwadratem: x² + 2x + 1; ale i największa x² + 8x + 4 ma być kwadratem. Otóż tworzę – mówi Diofantos — kwadrat z x + 3 Dlaczego z x + 3, a nie z x + 4, x + 5, lub x + 9?. Bo — powiada Diofantos — Formo quadratum ab x – ut habeam x² — plus unitatibus ita sumptis, ut aliarum specierum in quadrato reperiendarum, nempe x et unitatum, coefficientes non superent ambo eos, qui sunt in 8x + 4, sed alter superetur, alter superet. Esto 3.
To twierdzenie jest tak ciemne, że trudno domyśleć się, co ono ma znaczyć. Można je dopiero zrozumieć po przeprowadzeniu analizy, którą przedtem zrobiłem. Mianowicie jest to warunek potrzebny, aby rozwiązanie dało wyniki dodatnie. Jeśli przyrównamy x² + 8x + 4 do (x + 3)², otrzymamy x = 2½, niewiadomą najmniejszą, nasze z. Środkowa x + 1, nasze y = 3½; największa = 5½.
Z tego też przykładu widać dalszą cechę metody Diofantosa, szuka on jednego konkretnego rozwiązania, choć rozwiązań jest więcej, bo zadanie jest równaniem nieoznaczonem. O tem Diofantos aż nadto dobrze wie, bo nawet tak się wyraża: Weźmy — mówi – nprz. za x liczbę 3. Możnaby, rozumie się, wziąć inną liczbę. Ta cecha jednak zostaje w związku z brakiem analizy u Diofantosa.
Często ma się wrażenie, czytając zagadnienia Diofantosa, że Diofantos stawia i rozwiązuje zagadki, właśnie przez to, że nie przeprowadza metodycznie analizy równania, choć, jak już mówiłem, on tę analizę znał. Tu i owdzie tylko, acz bardzo rzadko, poda jakąś ogólną zasadę, która jest mu pomocną przy jego rozwiązaniach np. w V10 udowadnia, że liczba typu 4n + 3 nie może być sumą kwadratów.
Diofantos jest matematykiem, ściślej mówiąc, arytmetykiem wielkim, wybitnym. Nie powstydziłby go się żaden naród, żadna epoka. Smutne tylko to, że stoi samotny, że nie miał w Grecji kontynuatorów, że nie miał uczniów, którzyby arytmetykę rozszerzali i pogłębiali.
