Strona:PL Encyklopedyja powszechna 1860 T1.djvu/453

niekiedy analizą matematyczną (ob.) i wtedy ona obejmuje nietylko algebrę elementarną, lecz nadto algebrę wyższą czyli transcendentalną, która przecież nie wchodzi do składu zwykłych traktatów algebry. Algebra przedstawia, liczby i rachunki, którym one dają początek, sposobem ogólnym i za pomocą znaków umówionych, których doskonały systemat dzielnie przyczynił się do ogromnych postępów tej części matematyki. Znaki, czyli symbole używane w algebrze są dwojakiego rodzaju: jedne służą do wyrażania wielkości, czyli ilości, bez względu na ich naturę, i to są litery alfabetu; drugie służą do oznaczania stosunków zachodzących pomiędzy ilościami i działaniami którym tamte poddajemy, to są znaki algebraiczne. O algebrze można powiedzieć, że jest to najzwięźlejszy, najrozleglejszy i najdogodniejszy z języków, jakiemi ludzie z sobą porozumiewać się mogą. Następujący przykład da to poznać dokładniej.. Zagadnienie: podzielić liczbę daną na trzy części tak, aby część średnia była większa od części mniejszej o liczbę daną, ą część większa była większą od części średniej o inną liczbę daną. Rozwiązanie: językiem zwyczajnym. Część średnia równa się mniejszej części, powiększonej przewyżką jej nad częścią mniejszą. Część większa równa się średniej powiększonej przewyżką jej nad częścią średnią, a więc równa się części mniejszej powiększonej przewyżką części średniej nad mniejszą i powiększonej przewyżką części większej nad średnia. Że zaś część większa razem ze średnią i mniejszą składają liczbę daną, więc część mniejsza, powiększona przewyżką części większej nad średnią i przewyżką części średniej nad mniejszą, razem z częścią mniejszą powiększoną przewyżką części średniej nad mniejszą i razem z częścią mniejszą składa liczbę daną, czyli trzy razy wzięta część mniejsza, z przewyżką części większej nad średnią i z dwa razy wziętą przewypką części średniej nad mniejszą, równa się liczbie danej. Więc trzy razy wzięta część mniejsza równa się liczbie danej, zmniejszonej przewyżką części większej nad średnią i dwa razy wziętą przewyżką części średniej nad mniejszą. Więc nakoniec część mniejsza jest trzecią częścią reszty otrzymanej z odjęcia od liczby danej przewyżki części większej nad średnią, i dwa razy wziętej przewyżki części średniej nad mniejszą. Mając zaś część mniejszą, znajdziemy część średnią dodającą do części mniejszej przewyżkę części średniej nad mniejszą, i część większą dodając jej przewyżkę nad częścią średnią, do części średniej już znalezionej. Sposobem algebraicznym: niech będzie liczba dana a, przewyżką części średniej nad mniejszą b, przewyżką części większej nad średnią c; oznaczmy niewiadomą część mniejszą przez x,
 część średnia będzie: x + b,
 część większa x + b + c;
 więc x + x + b + x + b + c = a, to jest:
  3x + 2b + c = a, ztąd zaś:
  3x = a − 2b − c, nakoniec:
  x = a − 2b − c/3, albo x = a − (2b + c)/3; to jest podobnie jak wyżej, część mniejsza jest równa trzeciej części reszty, otrzymanej z odjęcia od liczby danej summy dwa razy wziętej przewyżki części średniej nad mniejszą i przewyżki części większej nad średnią. W tym przykładzie rozważaliśmy kilka równań, czyli zbiorów ilości wiadomych i niewiadomych, oddzielonych od siebie znakiem równości. Musieliśmy także wykonać kilka działań zasadniczych algebraicznych, jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, aby dojść do oznaczenia niewiadomej. Rozwiązując rozmaite zagadnienia o liczbach ogólnie, przez wprowadzenie znaków i wyrażeń algebraicznych ogólnych,