byłoby x = a x ′, y = a y ′ i mielibyśmy a ²x ′² + a ²x ′² = z ², czyli a ² (x ′² + y ′²) = z ², co pokazuje że gdyby x i y miały czynnik wspólny, natenczas i z byłoby podzielne przez a, czyli byłoby z = a z ² i pierwotne równanie miałoby kształt a ² (x ′² + y ′²) = a ² z ′², czyli x ′² + y ′² = z ′², gdzie x ′, y ′ i z ′ są liczbami między sobą pierwszemi. W równaniu danem jeżeli x jest parzyste, y parzystém być nie może, w przeciwnym albowiem razie x i y miałyby czynnik wspólny 2, co się nie zgadza z poprzedzającem. Również obie liczby x i y nie mogą być nieparzystemi, gdyby albowiem było x = 2 k + 1, a y = 2 l + 1, natenczas (2 k + 1)² + (2 l + 1)² = 4 (k ² + l ² + k + l ) + 2, to jest summa kwadratów z tych liczb byłaby podzielną tylko przez 2, a zatem nie byłaby zupełnym kwadratem, gdyż kwadrat będący liczbą parzystą, jest zawsze podzielny przez 4. Tak więc jeżeli jedna z liczb x i y jest parzysta, druga musi być nieparzystą. Przypuśćmy że x jest liczbą nieparzystą, zaś y parzystą, i że z = x + pq y, gdzie pq jest ułamkiem uproszczonym, będzie: x ² + y ² = (x + pq y )² = x ² + 2 p x yq + p ² y ²q ² zkąd: q ² x ² + q ² y ² = q ² x ² + 2 p q x y + p ² y ²; czyli: q ² y ² = 2 p q x y + p ² y ², albo q ² y = 2 p q x + p ² y , albo 2 p q x = q ² y −p ² y , a ztąd xy = q ² − p ²2 p q. Ponieważ ułamek pq jest wyrażony w najprostszej postaci, przeto i ułamek q ² − p ²2 p q przez nic nieda się skrócić. Nadto liczby p i q nie mogą być obie nieparzystemi, w razie albowiem gdyby liczby p i q były nieparzystemi, różnice ich kwadratów, to jest: q ² − p ², byłaby podzielną przez 4, a po skróceniu ułamku q ² − p ²2 p q przez 2, w liczniku pozostałby czynnik 2, co miejsca mieć nie może z przyczyny, żeśmy przypuścili iż x jest liczbą nieparzystą; jedna więc z liczb p i q jest parzysta a druga nieparzystą, ztąd licznik q ² − p ² nie jest podzielny przez 2, a zatém i cały ułamek q ² − p ²2 p q nie da sie skrócić. W dwóch ułamkach równych licznik jednego jest równy licznikowi drugiego, i mianownik jednego jest równy mianownikowi drugiego, więc x = q ² − p ², y = 2 p q , że zaś było z = x + pq y, przeto z = q ² − p ² + pq . 2 p q = q ² + p ². Doszliśmy więc do rozwiązania równania x ² + y ² = z ² w liczbach całkowitych, a mianowicie x = q ² − p ², y = 2 p q, z = p ² + q ², pamiętając podług tego, co wyżej powiedziano, że jedna z liczb p i q jest parzysta druga nieparzysta, a nadto że obie są liczbami pierwszemi między sobą. Przypuszczając więc że:
to jest: boki trójkąta prostokątnego szukanego, wyrażą się liczbami: 3, 4, 5, albo 15, 8, 17, albo 5, 12, 13, albo 21, 20, 29, albo 7, 24, 25 i t. d. Oczywiście przedmiot ten stanowi część algebry, w której się mówi o równaniach i zagadnie-
