Strona:PL M Auerbach Platon a matematyka grecka.djvu/10

wpływ na rozwój matematyki. Nie z tych też szczegółów uczeni ten wniosek wysnuwają, lecz z rzeczy natury ogólniejszej. O jednej już wspomniałem, o tem, że Platon silnie podkreślał istotę tworów matematycznych. Drugą rzeczą, którą należy położyć nacisk, jest następująca: wywarł wpływ na wyniki badań matematycznych przez wprowadzenie nowej metody dowodzenia, zwaną dziś dowodem regresywnym; w terminologji greckiej nazywa się ten dowód ἀνάλυσις. Diogenes z Laerty III 24 mówi: Platon pierwszy wprowadził metodę analityczną dla Leodamasa z Thasos, który dzięki niej poczynił wiele odkryć. Notatka Diogenesa z Laerty zdaje się mówić, że Platon zwrócił uwagę Leodamasowi na możliwość istnienia metody idącej drogą odwrotną niż synteza, a Leodamas zajął się tym problemem i opracował go. Metodą tą posługiwał się też inny uczeń Platona, Eudoxos, i przy jej pomocy doszedł do odkrycia nowych twierdzeń i związków. Dużo też z prac Eudoxosa skutkiem tego weszło do Elementów Eukleidesa.
 Dotąd matematyka posługiwała się tylko dowodem progresywnym, zwanym przez starożytnych σύνϑεσις. Platon wprowadził nowy typ dowodu: dowód analityczny. Na czem polega różnica między dowodem analitycznym a syntetycznym, między σύνϑεσις a ἀνάλυσις, określił Eukleides w Appendix do ks. XIII Elementów do zadań 1—5: Τί ἐστιν ἀνάλυσις ϰαί τὶ ἐστι σύνϑεσις; Ἀνάλυσις μὲν οὖν ἐστι λῆψις τοῠ ζητουμένου ὡς ὁμολογούμένου διὰ τῶν ἀϰολούϑων ἐπί τι ἀληϑὲς ὁμολογούμενον. Σύνϑεσις δὲ λῆψις τοῦ ὁμολογουμένου διὰ τῶν ἀϰολούϑων ἐπί τι ἀληϑὲς ὁμολογούμενον (analiza to jest przyjęcie tego, co mamy udowodnić jako udowodnionego i dojście przez wnioski do jednego sądu już skądinąd uznanego za prawdziwy). Tak określa to Eukleides. Mam udowodnić prawdziwość sądu D. Przyjmuję więc, że sąd D jest prawdziwy. Z prawdziwości sądu D wynika prawdziwość sądu C. Z prawdziwości sądu C wynika prawdziwość sądu B. Z prawdziwości sądu B wynika prawdziwość sądu A. Skądinąd już wiem, że sąd A jest prawdziwy. Stąd wnioskuję, że i sąd D jest prawdziwy.
 Synteza — mówi Eukleides — jest to przyjęcie jakiegoś sądu już uznanego za prawdziwy i dojście przez wnioski do prawdziwości sądu, który mamy udowodnić. Synteza idzie drogą odwrotną niż analiza. Mam udowodnić prawdziwość sądu D. Zaczynam rozumowanie nie od sądu D — jak w analizie —