Strona:PL M Auerbach Platon a matematyka grecka.djvu/13

łączymy punkty podziału z końcami cięciw i otrzymujemy świeżych sześć trójkątów i dwanaście odcinków — i tak idziemy dalej i w ten sposób wyczerpujemy pole trójkątami, których jest coraz więcej i które są coraz mniejsze. Dzięki metodzie wyczerpywania matematyka grecka wyeliminowała ze swych rozważań pojęcie wielkości nieskończonej.
 Aby przejść do pewnych szczegółów charakterystycznych, nie zawadzi przypomnieć, że Platon uchodzi za tego, który rozwiązał równanie nieoznaczone x 2 + y 2 = z 2 (oczywiście w liczbach wymiernych), gdy x jest liczbą parzystą. W znaczeniu geometrycznem to równanie podaje związek między bokami trójkąta prostokątnego: x 2 + y 2 = suma kwadratów obu przyprostokątni, z 2 = kwadrat naprzeciw­prostokątni. Twierdzenie t. zw. Pythagorasa powstało w szkole pythagorejskiej, może wynalazł je sam Pythagoras. Pythagorejczycy umieli budować trójkąty prostokątne, mając daną jedną przyprostokątnią jako liczbę nieparzystą, czyli umieli rozwiązywać równanie x 2 + y 2 = z 2, gdy x jest liczbą nieparzystą. Zdaje się, że prototypem tego równania jest trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5, gdzie 32 + 42 = 52. Potem Pythagorejczycy znaleźli formułkę dla trójkątów, w których mniejsza przyprostokątnia wynosi nie trzy, ale jakąkolwiek liczbę nieparzystą. Natomiast nie doszli do rozwiązywanie wypadków, w których mniejsza przyprostokątnia jest liczbą parzystą. To zagadnienie rozwiązał dopiero Plato, wykazując, że y = (x/2)2 − 1 a za z = (x/2)2 + 1. Jeśli np. mniejsza przyprostokątnia wynosi 10, to większa wynosi (10/2)2−1 = 24, a przeciw­prostokątnia wynosi (10/2)2 + 1 = 26. I rzeczywiście 262 − 242 = 102.  Wiadomość tę zachował Heron z Alexandrji w Geometrica 9 (Heib. IV 220 v. 21 nn.). Autor podaje w tym ustępie metodę budowania trójkątów prostokątnych o bokach oczywiście — wymiernych, jeżeli przyprostokątnia jest liczbą parzystą i nazywa tę metodę Μέϑοδος Πλάτωνος περί τριγώνου όρϑογωνίου. Mówi tak: έάν έπιταγής τρίγωνον όρϑογώνιον συστήσασϑαι ϰατά Πλάτωνα άπό πλήϑους άρτίου, ποίησον ούτως (jeśli otrzymasz polecenie zbudowania trójkąta prostokątnego według Platona, wychodząc od liczby parzystej, zrób tak). Właśnie wyżej pokazałem, jak Platon to rozwiązywał.
 Widzieliśmy w toku rozważań, że Platon niejedną cegiełkę dorzucił swemi badaniami do budującego się gmachu mate-