Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/13

głych czasów. Ale gdy spostrzeżono, że liczby urojone w algebrze zawierają się w tych samych wyrażeniach lub formach ogólnych, w których zawierają się i liczby rzeczywiste, uznano, że ogólność, będąca cechą badań matematycznych, nie godzi się z banicyą form urojonych, i postanowiono rozszerzyć dziedzinę liczb, wprowadzając do niej i takie formy, które owo działanie wyciąganie pierwiastka kwadratowego z liczb ujemnych za uprawnione uważać dozwalają. Takie wprowadzenie liczb nowych, gwoli usunięcia niemożliwości, mogłoby się wydawać tylko pewnym wybiegiem, pozornem załatwieniem sprawy. Tak byłoby w istocie, gdyby nowe formy i działania nad niemi, na podstawie odpowiednich określeń wykonywane, pozostały tylko czczą i bezużyteczną spekulacyą. Tymczasem rzecz się ma zupełnie przeciwnie, nowe bowiem formy pozwoliły na znakomite uogólnienie badań i na odkrycie twierdzeń, dojście do których na innej drodze nie dałoby się wcale lub z trudnością osiągnąć. Oprócz tych korzyści bezpośrednich, potrafiono szczęśliwie znaleść dla liczb zespolonych i sposób przedstawienia geometrycznego, (sposoby Arganda i Gaussa) i zastosować je do zagadnień nietylko analizy ale i geometryi. Przez wprowadzenie liczb urojonych nauka uczyniła postęp rzetelny.
 Co do sprzeczności wewnętrznej, jaka tkwić się zdaje w pierwotnem pojęciu form urojonych, uczynimy tu uwagę ogólną, odnoszącą się do całej kategoryi form nowych, do nauki w analogiczny sposób wprowadzanych. Sprzeczność, o której mowa (np. w przypadku liczby urojonej, wyrażająca się w równaniu x² = — 4), nie jest sprzecznością bezwzględną z zasadniczemi prawami logiki, na których matematyka, jak i każda umiejętność, opierać się musi. Sprzeczność ta jest względna, t. j. zachodzi tylko w odniesieniu do dziedziny, w której badania nasze wykonywamy. Skoro dziedzinę rozszerzymy, sprzeczność znika. Dla objaśnienia tej myśli możemy podać przykład następujący z geometryi.