skończenie małe okazały się narzędziem najodpowiedniejszem.
Czem jest ciągłość, metafizycznie biorąc, — to do matematyki nie należy. Matematyka nie rozstrzyga pytania, czy ciągłość ta tkwi w przedmiotach, czy jest wypływem właściwości umysłu i pozostawia pytanie to filozofom. To wszakże nie ulega wątpliwości, że tylko w dziedzinie matematyki ciągłość jest pojęciem, na którem bez szwanku operować można. Przy stosowaniu zaś tego pojęcia do badania przyrody, trzeba mieć zawsze to na pamięci, że za pomocą niego rzeczywistość idealizujemy i że wyniki podobnego badania należy pojmować jedynie w związku z hypotezami, którą za podstawy przyjęto, jakto jeszcze niżej objaśnimy [1].
∗
∗ ∗ |
Na stosunek matematyki do rzeczywistości rzuca wiele światła geometrya. Wiadomo, że nauka ta opiera się na pewnej liczbie twierdzeń zasadniczych czyli pewników, aksiomatów lub postulatów, odnoszących się do linii prostej i do płaszczyzny i że system prawd treść jej stanowiących, rozwija się na tej podstawie przy pomocy dedukcyi. Nie potrzebuje ta umiejętność doświadczenia dla dochodzenia do prawd nowych, zastępując je dowodzeniem, opartem na prawidłach logiki i prawdach, poprzednio już dowiedzionych. Ostatecznemi więc elementami każdego dowodu geometrycznego są własności form, wprowadzanych za pomocą konstrukcyi lub przez określenie, i owe prawdy zasadnicze, będące podwaliną całego systemu. Jeżeli więc wolno podnieść pytanie o „prawdziwości“ geometryi, to ono przedewszystkiem zwrócone być winno do twierdzeń zasadniczych; innemi słowy, pytanie, czy geometrya może mieć
- ↑ Nie możemy tu pominąć milczeniem nowego kierunku w analizie, którego przedstawicielem w Niemczech jest niedawno zmarły znakomity matematyk Kronecker, we Francyi Méray i Riquier. Kierunek ten możnaby nazwać „arytmetycznym“, a polega on na tem, że całą dziedzinę analizy stara się sprowadzić na pole metod czysto arytmetycznych, t j. takich, w których występują, jedynie liczby całkowite (dodatnie), uważane za stanowiące dziedzinę „realną“, podczas gdy wszystkie inne rodzaje i gatunki liczb są tylko według tego poglądu symbolami rachunkowemi. Wszelkie działania, które w zwykłem traktowaniu prowadzą do liczb ułamkowych, niewymiernych, urojonych i t. d. stara się ta szkoła wyrazić za pomocą związków pomiędzy liczbami całkowitemi.
Na pozór zdawać by się mogło, że pogląd taki stanowi powrót do dawnych czasów, w którym liczbom niewymiernym, urojonym i t. d. nie przypisywano żadnego znaczenia, lecz w istocie tak nie jest. Nowy kierunek dotychczasowego postępu i rozwoju matematyki nie neguje; owszem wchłania go, że tak powiemy, tylko odmienną a oryginalną nadaje mu postać. Wszystko to, co zdobyto w matematyce na drodze jej rozwoju, nacechowanego powyżej w tekście kilkoma rysami, wszystko to stanowi zdobycz niewzruszoną, której umysły oryginalnych myślicieli starają się nadać formę sobie właściwą. Różnice te prowadzą do różnych kierunków, do różnych szkół matematycznych. Objaw to niezmiernie interesujący, powtarzający się w dziejach matematyki, stanowi również jak sądzimy, zagadnienie bardzo wdzięczne dla filozofa. W matematyce, jak i w innych umiejętnościach, objawia się dualizm kierunków umysłowych, znany w filozofii pod różnemi nazwami. Matematyka wszakże przez samą istotę swych zagadnień, przez czysto-formalny charakter swych pojęć i działań, wznosi się niejako po nad różnicę kierunków i w tem właśnie tkwi jej potęga teoretyczna oraz doniosłość praktyczna w zastosowaniach.
