Do następujących typów głównych sprowadzają się wszystkie twory lub formy badań matematycznych[1]. Do pierwszego typu należą liczby, a więc przedewszystkiém liczby całkowite, stanowiące zasadniczy materyał Arytmetyki, następnie wszystkie inne rodzaje liczb, które drogą uogólnienia działań powstają, a więc liczby ułamkowe, ujemne, urojone, nadurojone, liczby idealne Kummera, “ideały„ Dedekinda; liczby nieskończenie wielkie i nieskończenie małe, nadskończone (transfinite) G. Cantora, wymierne i niewymierne, algebraiczne i przestępne. Daléj należą tu funkcye matematyczne, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzą liczby, zmieniające swą wartość w zależności od innych liczb.
Do typu drugiego należą formy geometryczne, t. j. ciała geometryczne trójwymiarowe, formy dwu i jednowymiarowe, punkt geometryczny, oraz ogólniejsze formy rozmaitościowe czyli przestrzenie wielowymiarowe; daléj układy czyli kombinacye rozmaitych form, i formy, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzi pewna forma geometryczna lub układy podobnych form.
Do trzeciego wreszcie typu należą rozmaite formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk, jak formy foronomiczne, mechaniczne, fizyczne i t. p.
Na pierwszy rzut oka zdaje się, że objęcie tych różnorodnych przedmiotów jedną nauką odbiera téjże charakter jednolitości: liczby bowiem zdają się być czémś zupełnie różném od form geometrycznych, te zaś różnią się zasadniczo od tworów, cechujących zjawiska. Rozwój nauki, jak to zobaczymy, zbliża wszakże do siebie te różnorodne początkowo dziedziny.
I tak pojęcie liczby przez uogólnianie prowadzi kolejno od liczb całkowitych dodatnych z jednéj strony do urojonych i nadurojonych, z drugiéj zaś strony do niewymiernych i przestępnych. Tworzenie liczb urojonych i nadurojonych odpowiada wprowadzeniu do nauki o liczbach wymiarowości, stanowiącéj cechę tworów geometrycznych. Tworzenie zaś liczb niewymiernych i przestępnych i w ogóle uważanie całego continuum liczb odpowiada ciągłości, uważanéj za cechę pierwotną form geometrycznych. Tak więc przy pomocy liczb dają się przedstawić formy geometryczne i obie różne napozór dziedziny jednoczą metody badania form analitycznych. Na odwrót, formy geometryczne służyć mogą do przedstawienia wła-
- ↑ Nazwy formy dla utworów matematycznych używa H. Grassmann Ausdehnungslehre, str. XXII. Matematyka jest według niego nauką o formach [Formenlehre]. Według Roberta Grassmanna, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872, nauka o formach czyli Matematyka jest nauką o prawach ścisłego naukowego myślenia i składa się z pięciu gałęzi, a mianowicie: z nauki o wielkościach, Logiki, nauki o kombinacyach, nauki o liczbach i z nauki o rozciągłości [Ausenlehre].
