podpadające pod nie przedmioty mogą być uważane za równe lub nierówne. Równemi nazywa on takie przedmioty, gdy w każdym sądzie [Aussage] jeden można zastąpić drugim. Należy to rozumieć w ten sposób, że gdy A = B, B = C, to stąd wynika A = C, i że tym sposobem A, B, C mogą się wzajem zastępować we wszelkich połączeniach czyli działaniach. Bez takiej podstawy żadna teorya działań nie byłaby wcale możliwą. Co się zaś tyczy określenia nierówności np. większości, to musi ona czynić zadość warunkowi: „Jeżeli A > B, B ≥ C, to A > C. Ale warunków tych dla równości i nierówności bezpośrednio do wszelkich form matematycznych stosować nie można, i dlatego przy każdém nowo wprowadzaném pojęciu przedmiot ten wymaga oddzielnego roztrząsania.
Podział wielkości na linearne i nielinearne jest zbyteczny, jeżeli dla przedmiotów badania matematycznego zachowamy ogólną nazwę formy, a wielkościami nazywać będziemy takie formy, do których potrafiliśmy zastosować pojęcia równości, większości i mniejszości.
Pytanie o możności stosowania działań i metod Matematyki do form, otrzymywanych z abstrakcyi przy badaniu przedmiotów i zjawisk świata zewnętrznego, a mianowicie określenie ich równości i nierówności, oraz sposób wprowadzania ich we wzajemne związki nie są tak proste, jak to z przykładów życia codziennego wydawać się może. Pytanie to wymaga gruntownego oświetlenia, opartego na wynikach teoryi ogólnéj działań matematycznych. Podjął je niedawno Helmholtz w rozprawie o liczeniu i mierzeniu[1].
Helmholtz uważa Arytmetykę czyli naukę o liczbach za metodę, zbudowaną na faktach czysto-psychologicznych, która uczy należytego używania układu “znaków„ [liczb] o nieograniczonéj rozciągłości i zdatnych do nieograniczonéj subtelności [Verfeinerung]. Liczby są zatém, według niego, symbolami, “dającemi nam opis przedmiotów rzeczywistych; opis, któremu możemy nadać żądany stopień dokładności i za pomocą którego dla wielkiéj liczby przypadków działania ciał, pozostających pod władzą znanych praw przyrody, można znaleźć rachunkowo wartości liczbowe, mierzące skutek działania„. Zapytuje daléj Helmholtz, jakie jest objektywne znaczenie tego faktu, iż stosunki rzeczywiste pomiędzy przedmiotami wyrażamy, jako wielkości w liczbach mianowanych, i przy
- ↑ Helmholtz. Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet [Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet, 1887, str. 16—52]. W roku 1868 Riemann w rozprawie, napisanéj jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [Göttinger Abhandlungen, XIII, 1 — 20, także B. Riemann's Gesammelte mathematische Werke, 1876, str. 254 — 269; przekład polski S. Dicksteina i Wł. Gosiewskiego w Pamiętniku Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu, IX, 1877] i jednocześnie Helmholtz w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Göttinger Nachrichten, 193—221, także Wissenschaftliche Abhandlungen von Hermann Helmholtz, II, 1883, str. 618 — 639], zajęli się zbadaniem podstaw, na których spoczywa nasza Geometrya. Te znakomite rozprawy wpłynęły na pogłębienie całéj wiedzy matematycznéj i z rodziły bogatą literaturę [porówn. Wiadomość o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowéj, Prace matematyczno-fiyczne, I, 1888, str. 128—135]. Wyniki tych nowych badań przedstawimy we własciwém miejscu; tu powiemy tylko, że Helmholtz hołduje teoryi empirystycznéj, według któréj pewniki Geometryi nie są twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kant, lecz prawdami, które doświadczeniem zdobywamy i któremi jedynie doświadczenie zachwiać by mogło. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma być odnośnie do Arytmetyki dopełnieniem tych poglądów wielkiego fizyka. Winniśmy dodać, że pod tym względem miał Helmholtz poprzedników w Grassmannie, Hankelu i Schröderze. Równocześnie z pracą podobnéj treści wystąpił Kronecker w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. [Philosophische Aufsätze i t. d., str. 263—274.]. Z krytyką poglądów Helmholtza i Kroneckera występują: G. Cantor, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz Kerry, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, str. 317—353].
