go umysłu„. Hypoteza ciągłości przestrzeni jest, wedlug Cantora, jedynie dowolném założeniem o zupełnéj jednoznacznéj odpowiedniości między czysto arytmetyczném continuum (x, y, z) a przestrzenią, będącą podstawą świata zjawisk. Ta swoboda umysłu sięga nawet tak daleko, że można utworzyć pojęcie przestrzeni nieciągłej, w któréj ruch odbywa się sposobem ciągłym.
Toż samo utrzymuje Dedekind[1], według którego ciągłość przestrzeni nie jest wcale konieczną podstawą geometryi, bo w niéj nigdzie nic bywa należycie wyjaśnianą. Jeżeli obierzemy sobie, twierdzi Dedekind, trzy punkty dowolne A, B, C, nie leżące na jednéj prostéj, z tém tylko ograniczeniem, aby stosunki ich odległości AB, AC, BC były liczbami algebraicznemi, i będziemy uważali za istniejące w przestrzeni tylko te punkty M, dla których stosunki AM, BM, CM do AB wyrażają się również liczbami algebracznemi; wtedy przestrzeń, złożona z punktów M, będzie oczywiście nieciągłą, i pomimo téj nieciągłości, koustrukcye, które uskutecznia w niéj geometrya elementarna, dadzą się zupełnie wykonać tak samo, jak w przestrzeni ciągłéj.
Tak jest bezwątpienia. Zachodzi tylko pytanie, czy porównywanie stosunków odległości nie wymaga w istocie rzeczy ukrytego przyjęcia pewnych form ciągłych i czy wogóle ta nieciągłość przestrzeni da się pojąć czy wyobrazić bez pewnéj rozmaitości ciągłéj? W każdym razie, usuwając tę ciągłość z przestrzeni, Cantor i Dedekind wprowadzają ją do układu liczb. Podobny pogląd wygłaszają i niektórzy filozofowie. “Ciągłość, powiada Cohen[2], jest ogólną, podstawą samowiedzy, walnym warunkiem myślenia, którego działalność okazuje się w ciągłości [nieskończonéj podzielności] przestrzeni, lecz przedewszystkiém w téj dziedzinie matematycznéj, która jest najbliższą ogólnego myślenia, a więc nauce o liczbie„.
Inni uczeni są przeciwnego zdania. Twierdzą oni, że ciągłość spoczywa przedewszystkiém w formach geometrycznych, w przestrzeni. W błędzie jest Dedekind, powiada A. Fick[3], jeżeli nie w Geometryi, lecz w dziedzinie liczb szuka ciągłości. “Ciągłość nie może nigdy leżeć w akcie liczenia, ani z liczenia powstać; szukać jéj należy tylko w wyobrażeniu przedmiotów liczonych„.
Przeciwieństwo tych poglądów polega na różnicy zasad teoretyczno-poznawczych wiedzy ludzkiéj w ogólności; w Matematyce sa-
- ↑ Dedekind. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.; porów. też pracę tegoż autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w któréj istotę ciągłości widzi w następującém twierdzeniu: “Jeżeli punkty na prostéj rozpadają się na dwie klasy w ten sposób, że każdy punkt pierwszéj klasy leży na lewo od każdego punktu drugiéj, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który daje ten podział punktów na dwie klasy, to rozcięcie prostéj na dwie części„. Za Dedekindem idzie Stolz w Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885, I, str. 80—84.
- ↑ Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883. str. 37.
- ↑ A. Fick, Das Grössengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6.
