strzeni, bez uwagi na siły. Można i tę gałąź Mechaniki uogólnić, zastępując formę przestrzeni, w której ruch się odbywa ogólniejszą formą rozmaitościową. Jeżeli zaś w Mechanice opieramy się na pewnikach, uważanych za wynik indukcyi z doświadczenia albo za prawa natury, i w dalszém budowaniu umiejętności odwołujemy się do do faktów doświadczalnych, Mechanika będzie nauką stosowaną.
Tym sposobem Matematykę czystą składają następujące nauki:
- 1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyższy, które Wroński obejmuje jedną nazwą ogólną Algorytmii[1].
- 2. Geometrya,
- 3. Foronomia czyli Cynematyka.
- 1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyższy, które Wroński obejmuje jedną nazwą ogólną Algorytmii[1].
Można z innego punktu widzenia ustanowić klasyfikacyą Matematyki czystéj. Wiemy, że formy matematyczne [art. 3.] są przerywane i ciągłe, mamy więc Matematykę form przerywanych, nieciągłych lub uważanych bez względu na ciągłość, oraz Matematykę form ciągłych. Do pierwszéj z nich należałoby zaliczyć Arytmetykę, Algebrę i tę część Geometryi, którą można rozwinąć bez potrzeby uważania ciągłości; do drugiéj Rachunek wyższy i Geometryą układów ciągłych wraz z Foronomią[2].
Podział ten przyjmujemy w niniejszéj książce, przyczém w pierwszym tomie zajmiemy się pojęciami i metodami Arytmetyki i Algebry, drugi poświęcimy Analizie, Geometryą zaś, jako mającą swoje odrębne metody, oraz Cynematyką zajmiemy się w tomie trzecim.
Logika formalna, jako metoda szukania związków pomiędzy przedmiotami, oderwanemi od wszelkiéj treści, jest nauką zbliżoną do Matematyki czystéj. Mając do czynienia z ogólnemi prawami myślenia, t. j. z prawami łączenia pojęć, sądów i wniosków, obejmuje ona prawa łączenia pojęć form matematycznych oraz sądów i wniosków, które z tego łączenia wynikają; jest zatém nauką ogólniejszą od Matematyki i zaliczaną bywa do Teoryi poznania. Wszystkie gałęzie Matematyki można uważać za zastosowania Logiki formalnéj do pojęć poszczególnych form matematycznych[3].
Organem Logiki formalnéj do ostatnich czasów był język wyrazów, jako główny środek przedstawiania i rozwijania myśli. Gdy wszakże wyrazy nie mają ścisłego i niezmiennego znaczenia, jakie
- ↑ Wroński, Introduction i t. d. str. 464 i następne, dzieli tak Algorytmią jak i Geometryą na dwie gałęzie: Teoryą i Technią. Teoryą nazywa on ogół twierdzeń, czyli podań, mających za przedmiot naturę ilości, t.j form matematycznych, Technią — ogół metod, które on nazywa podaniami, odnoszącemi się do mierzenia tychże form. Mamy więc Teoryą i Technią Algorytmii oraz Teoryą i Technią Geometryi. Dalszy podział każdéj z tych części oparty jest na istocie działań matematycznych, a mianowicie. jeżeli Teorya i Technia używają tylko działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii elementarnéj; jeżeli używają “systemów„ działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii systematycznéj. Prócz tego tak Teorya i Technia mogą się odnosić już to do powstawania [génération] form matematycznych, już to do ich związków wzajemnych, do ich porównania [comparaison]; stąd wynika dalsze rozczłonkowanie systemu Matematyki. Cały swój system przedstawił Wroński na wielkiéj tablicy “architektonicznéj„, dołączonéj do swego dzieła, i uzasadnił go szczegółowo w tekscie. Wrońskiemu też wspólnie z Kantem i Cantorem przypada zasługa wprowadzenia Foronomii do systemu Matematyki czystéj; patrz jego dzieło Sept manuscrits i t. d. Porówn. S. Dickstein, Foronomia Wrońskiego [Rocznik Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.].
- ↑ Arytmetyka i Algebra obie zajmują się liczbami; obu podstawą jest teorya działań, dziedziny ich wzajemnie się krzyżują. W znaczeniu ściślejszém pod nazwą Arytmetyki rozumiemy Teoryą liczb, to jest naukę o liczbach całkowitych, o funkcyach, za pomocą skończonej liczby działań elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiających, i w ogóle o układach czyli ciałach liczbowych, za pomocą podobnych funkcyj określonych; przyczém pod nazwą liczb całkowitych rozumiemy nie tylko liczby całkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby całkowite urojone, idealne, ideały. Główném zadaniem Algebry jest ogólne badanie funkcyj, zbudowanych za pomocą skończonéj liczby działań zasadniczych, równań, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogólniéj fuukcyj, przez takie równania określonych. Lecz gdy badania arytmetyczne są przywiązane niejako do stałego układu liczb określonéj natury, badania algebraiczne, przeciwnie, są prowadzone bez względu na podobny układ; pierwsze są specyalne, drugie ogólne, skąd płynie różnica metod w obu naukach, którą Wroński charakteryzuje, nazywając metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemi]. Według pomysłów, które obecnie rozwija Kronecker, cała treść badań algebraicznych powinna dać się “zarytmetyzować„, t.j. Algebra zamienić na Arytmetykę czyli Teoryą liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedłszy z jednéj podstawy i rozwijając każda swe metody, złączyłyby się we wspólnych pojęciach i metodach. We właściwém miejscu rzecz tę szczegółowo przedstawimy. Ważne metody Algebry, które rozwinęły się nawet w samodzielne gałęzie, mianowicie: Teorya podstawień i grup, Teorya przekształceń i niezmienników, stanowią tak nazwaną Algebrę nową. Jeszcze ogólniejsze formy i za pomocą ogólniejszych metod bada Rachunek wyższy czyli Analiza. Funkcye, któremi się ta gałąź Matematyki zajmuje, nie są pod względem tworzenia swego ograniczone do skończonéj liczby działań elementarnych, a główném narzędziem badania są tu pojęcia graniczne czyli nieskończonościowe, do których zalicza się także pojęcie ciągłości, zbieżności i t. d. Można Rachunek wyższy nazwać Teoryą funkcyj matematycznych, najogólniej uważanych. Analiza ma oczywiście wiele punktów wspólnych z Algebrą, i wogóle wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowią właściwie jednę tylko umiejętność, w której formy matematyczne badamy z różnych stanowisk, i, co za tém idzie, przy pomocy różnych narzędzi. Słusznie przeto wszystkie je połączył Wroński jedną nazwą Algorytmii.
Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyką i Algebrą, stanowi zbiór wiadomości elementarnych z trzech dziedzin powyższych. Arytmetyka elementarna obejmuje naukę czterech działań nad liczbami całkowitemi i ułamkami, przedstawionemi w dziesiętnym układzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadań praktycznych. Algebra elementarna obejmuje naukę o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj całkowitych i rozwiązywania równań algebraicznych oraz teoryą kombinacyi, z analizy zaś przejmuje elementarną teoryą postępów geometrycznych nieskończonych i teoryą logarytmów.
Aby dać wyobrażenie o bogatym rozwoju dzisiejszéj Matematyki, przedstawiamy tu tytuły działów i poddziałów, na jakie dzielą się sprawozdania o postępie Matematyki czystéj, podawane w specyalném czasopismie Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, według XIX-go rocznika tego pisma:
I. Historya i Filozofia Matematyki.II. Algebra.1. Równania. Teorya ogólna. Równania algebraiczne szczególne.2. Teorya form.3. Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye symetryczne.III. Arytmetyka niższa i wyższa.1. Arytmetyka niższa.2. Teorya liczb.a) Rzeczy ogólne.b) Teorya form.c) Teorya ułamków ciągłych.IV. Rachunek prawdopodobieństwu. Nauka o kombinacyach,V. Szeregi.a) Rzeczy ogólne.b) Szeregi szczególne.VI. Rachunek różniczkowy i całkowy.1. Rzeczy ogólne.1. Rachunek różniczkowy [Różniczki, funkcye różniczek, maksyma i minima].3. Rachunek całkowy.4. Całki określone.5. Równania różniczkowe zwyczajne.6. Równania różniczkowe cząstkowe.7. Rachunek waryacyjny.VII. Teorya funkcyj.1. Rzeczy ogólne.2. Funkcye szczególne.a) Funkcye elementarne.b) Funkcye eliptyczne.c) Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p.d) Funkcye kuliste i t. p.VIII. Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna.1. Zasady Geometryi,2. Badania w dziedzinie ciągłości.3. Geometrya elementarna. (Planimetrya , Trygonometrya, Stereometrya].4. Geometrya wykreślna.5. Geometrya nowa syntetyczna.a) Rzeczy ogólne.b) Utwory płaskie szczególne.c) Utwory przestrzenne szczególne.d) Geometrya licząca.IX. Geometrya analityczna.1. Współrzędne.2. Geometrya płaska.a) Ogólna teorya krzywych płaskich.b) Teorya krzywych algebraicznych.c) Proste i stożkowe.d) Inne krzywe specyalne.3. Geometrya analityczna przestrzeni.a) Ogólna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.b) Teorya powierzchni i krzywych algebraicznychc) Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia.d) Inne specyalne utwory przestrzenne.4. Geometrya liniowa [kompleksy, układy promieni].5. Pokrewieństwo, przekształcenia liniowe, odwzorowania.a) Pokrewieństwo, przeksztalcenie liniowe i odwzorowanie.b) Odwzorowanie podobne [conforme Abbildung].Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften, [Philosophische Studien, 1888, str. 1—55] przedstawia nauki matematyczne w następującym systemie:
I. Nauki matematyczne ogólne. A) Nauka form ilościowych: Nauka o wielkościach. B) Nauka form jakościowych: Teorya rozmaitości. 1. Nauki o działaniach nad wielkościami: Algebra. 2. Teorya związków pomiędzy wielkościami: Teorya funkcyj. II. Nauki matematyczne specyalne. A) Nauka o liczbach. B) Nauka o przestrzeni: 1. Nauka o działaniach nad liczbami. 1. Geometrya syntetyczna: Nauka o powstawaniu form przestrzennych z elementów. 2. Teorya liczb: Nauka o liczbach i związkach pomiędzy niemi. 2. Geometrya analityczna: Teorya zastosowania pojęć wielkościowych do utworów przestrzennych. C) Nauka o ruchu. 1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o składaniu ruchów. 2. Cynematyka analityczna: Zastosowanie ogólnych pojęć wielkościowych do zagadnień ruchu Porówn. uwagi nad tym systemem w artykule S. Dicksteina, O najnowszych próbach klasyfikacyi nauk. [Ateneum, 1889, I, str. 266 i dalsze.].
- ↑ Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften [Philosophishe Studien, V, 1889, str. 35.].
