Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/028

Ta strona została przepisana.

mają, np. symbole matematyczne, gdy dalej na tej drodze kombinacye złożone pojęć i wogóle operacye logiczne w szacie słownéj nie są ani dość przejrzyste, ani też nie zawsze pozwalają na wyprowadzanie wszystkich wniosków z danych rozumowań, przeto jeszcze Leibnitz powziął pomysł zastosowania do przedmiotów i operacyj logicznych takich samych symbolów, jakich używa Matematyka, a mianowicie Algebra, t. j. liter. Pomysł ten dopiero w dziele Boole’a o prawach myśli został po raz pierwszy urzeczywistniony i systematycznie wykonany^[1]. Dziś Logika formalna w szacie matematycznéj, albo, jak ją zazywają, Algebra Logiki posiada wielu pracowników i bogatą literaturę, której wykaz znaleźć można w świeżo wydanym pierwszym tomie obszernego traktatu E. Schrödera^[2].
Ze stosunku Matematyki do Logiki wynika, że Algebra Logiki nie jest bynajmniéj zastosowaniem metod Matematyki do działań logicznych; owszem, mimo tożsamości symbolistyki i wyrażeń technicznych, działania logiczne mają znaczenie wogóle odmienne od działań matematycznych, jakkolwiek istnieją, téż godne uwagi analogie. Zauważyć przytém należy, że przejąwszy symbolistykę od Matematyki, Logika formalna przejęła zarazem zasadniczą właściwość Matematyki, którą jest uogólnianie pojęć, i na téj drodze dochodzi do wyników, jakich nie znała Logika, traktowana sposobem zwykłym.

Zastąpienie mowy słownéj symbolami matematycznemi jest nietylko rodzajem pisma stenograficznego, ale jest zarazem metodą ścisłego wyrażania związków logicznych, nie dopuszczającego żadnéj dwuznaczności i pozwalającego na łatwe i prędkie wyrażanie zachodzących w nauce twierdzeń i wniosków. Jest zasługą matematyka włoskiego G. Peano obmyślenie systemu prostych znaków, za pomocą których wyrażają się prawdy logiczne i zastosowanie tego nowego języka do przedstawiania zasad i twierdzeń rozmaitych gałęzi Matematyki. Najprzód zastosował on tę metodę do Arytmetyki i Geometryi, a obecnie pracuje nad wprowadzeniem tego nowego języka do Matematyki wyższéj. Owocem jego pracy jest najnowsza rozprawa, w któréj się zawiera dowód twierdzenia o całkowalności równań różniczkowych zwyczajnych. W przypisach dajemy zwięzły wykład metody Peano, mającéj, jak się zdaje, piękną przyszłość w nauce^[3].

↑ G. Boole, An investigation of the Laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. 1854. Treściwie zebrane wiadomości o pracach uczonych angielskich nad Logiką formalną znaleźć można w książeczce Liarda, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883, która wyszła i w niemieckim przekładzie p. t. Die neuere englische Logik, 2-e wyd. 1883, Inne próby Logiki, traktowanéj sposobem matematycznym, ogłosili J. Delboeuf, Logique algorithmique, Essai sur un système de signes appliqué a la Logique, 1877, i G. Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakże tylko metody logików angielskich wywalczyły sobie pierwszeństwo przed innemi.
Dzieło Jevonsa p. t. The Principles of science, a 'Treatise on logic and scientific method, 1887 [wydanie drugie] zawiera wykład Logiki formalnéj, zastosowanie téjże do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobieństwa, do metod mierzenia, do badań indukcyjnych, do teoryi uogólnień, analogii i klasyfikacyi.
↑ E. Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Krótki wykład Algebry logicznéj znaleźć można w rozprawie St. Piątkiewicza, Algebra w Logice [Sprawozdanie gimnazyum we Lwowie za rok 1888].

↑ Peano wyłożył metodę swoją w następujących rozprawach: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria logicamente esposti, 1889; Les propositions du cinquième livre d'Euclide, réduites en formules [Mathesis, X, 1890, str. 73—74]; Démonstration de l’integrabilité des équations différentielles ordinaires [Mathematische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie téj powziąć można wyobrażenie z następującego treściwego jej przedstawienia:
Znaki, używane w téj metodzie, są następujące:
K oznacza klasę [rozmaitość, mnogość przedmiotów i t. p.], ∪ oznacza spójnik i, ∩ albo, ε znaczy jest, = równa się, ⊃ jest zawarty albo wynika Λ — nic albo niedorzeczność.
Jeżeli a, b, c są K [klasami], to

a ∩ b ∩ c	oznacza:	klasę wspólną klasom a, b, c.
abc	„	to samo co a ∩ b ∩ c.
a ∪ b ∪ c	„	najmniejszą klasę, zawierającą w sobie klasy a,b i c.
—a	„	klasę złożoną z elementów nie-a.
x ε a	„	x jest a [należy do klasy a].
x,y ε a	„	x i y należą do klasy a.
a = b	„	klasy a i b są tożsame.
a ⊃ b	„	klasa a jest zawarta w klasie b, albo każde a jest b.
Λ	„	nic albo klasę “zero„. Tak np. ab = Λ oznacza, że żadne a nie jest b.

Jeżeli a, b, c są zdaniami, to

a ∩ b ∩ c	oznacza:	jednoczesne potwierdzenie zdań a i b;
abc	„	to samo co a ∩ b ∩ c.
a ∪ b ∪ c	„	że przynajmniéj jedno ze zdań a, b, c jest prawdziwe
—a	„	zaprzeczenie zdania a. Jeżeli zdanie a zawiera jeden ze znaków ⊃,=,ε, wtedy znak — dogodniéj jest pisać przed temi znakami. Tak np. a —= b piszemy zamiast —(a = b), x — εa zamiast —(xεa) lub xε—a.
		Jeżeli np. a, b są. K, to ab — = Λ oznacza, że jakieś a jest b.
a = b	oznacza:	zdania a i b są teżsame.
a ⊃ b	„	ze zdania a wynika b, albo jeżeli jest a,to jest b.
Λ	„	niedorzeczność. Tak np. a - b = Λ oznacza a ⊃ b.

Jeżeli a i b są zdania, zawierające przedmioty nieoznaczone x, y, ..., wtedy

a ⊃_x b	oznacza:	jakiekolwiek jest x, z a wynika b.
a ⊃_xy b	„	jeżeli x i y czynią zadość a, to czynią zadość i b.
a =_x b	„	dla wszystkich wartości x zdania a i b są teżsame.
a —=_x Λ	„	warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniące zadość warunkowi a.

Rozmaite części jednego wzoru oddzielają się od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia części twierdzenia używamy punktów . : ∴ ∷ i t. d. Aby przeczytać wzór opatrzony takiemi punktami, łączymy najprzód znaki, nie rozdzielone punktami, następnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potém trzema i t. d. Tak np.

ab . cd : ef . g ∴ h . kl oznacza {[(ab)(cd)][(ef)g]}[h(kl)]

Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrażają się nadzwyczaj zwięźle, jak to pokazują następujące przykłady:
a ε K . ⊃ . a . ⊃ a {quod est, est}.
a, b, c ε K . a ⊃ b . b ⊃ c : ⊃ . a ⊃ c wyraża sylogizm:

Jeżeli a, b, c są klasami, np. sądami, to: jeżeli z a wynika b, z b zaś wynika c, to z a wynika c.

a, b ε K . ⊃ : aa = a . a ∪ a = a . — (— a) = a . a — = Λ

a Λ = Λ, a ∪ Λ = a.

Jeżeli a, b są klasami, to stąd wynika, że klasa wspólna klasom a i a jest klasą a; najmniejsza klasa, obejmująca klasy a i a jest a; klasa, będąca negacyą klasy nie-a, jest klasą a; klasa wspólna klasie nie-a jest klasą zero; klasa wspólna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmująca klasę a i klasę zero, jest klasą a.

Następujące trzy wzory czytelnik z łatwością sam odczyta.

a, b ε K . ⊃ : a b = b a . a ∪ b = b ∪ a . ab ⊃ a . a ⊃ a ∪ b . — (a ∩ b)

= (— a) ∪ (— b) . —(a ∪ b) = (— a) ∩ (— b);
a, b, c ε K . ⊃ : (ab) c = a(bc) = abc . (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
=a ∪ b ∪ c;

a, b ε K . ⊃ ∴ a ⊃ b . = : x ε a ⊃_x x ε b.

Liczbę tych przykładów możnaby znacznie powiększyć; ale i podane wystarczają do pokazania, w jaki sposób symbolistyka Peano skraca wysłowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.

a b ε N . ⊃ . a + (b + 1) = a (b + 1);

a b c ε N . ⊃ . a + (b + c) = a + b + c;

a ε N . ⊃ . 1 + a = a + 1;

a b ε N . ⊃ : a < b . = . b — a — = Λ;

a ε N . ⊃ × 1 = a;

a b ε N . ⊃ . a b ε N;

a b c ε N . ⊃ . a = b : ⊃ : a c = b c .:

a b c ε N . ⊃ ∴ a < b . = . a c < b c : a = b . = . a c = b c :

a > b . = . a c > b c .;

a b c ε N . ⊃ . a(bc) = a b c;

a b ε N . ⊃ : b/a = N[xε] (x a = b).

Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i b są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = b. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:

a, b ε q . ⊃ . ab = ba

[jeżeli liczby a i b są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi ba]

a, b ε q . a² + b² = 0 : ⊃ : a = 0 . b = 0
a, b ε q . ab = 0 : ⊃ : a = 0 . ∪ . b = 0

Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.

a, b, x, y ε q . ⊃ ∴ x + y = a . x — y = b : = : 2x = a + b . 2y = a — b.
a b ε q . ⊃ ∷ x ε q . x² + a x + b = 0 : — =_x Λ ∴ = . a² — 4 b ≥ O.

Wzór drugi wyraża twierdzenie: “Jeżeli a i b są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x² + a x + b = O był liczbą rzeczywistą, jest: a² - 4 b ≥ 0„.
Twierdzenia piątej księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
  1. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma + m b = m (a + b)
  2. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a + na = (m + n) a
  3. „ : ⊃ . n(ma) = (nm) a
  4. a, b, c, d, ε G, m, n ε N . a/b = c/d: ⊃ . (ma)/(nb) = (mc)/(n/d)
  5. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma — mb = m(a — b)
  6. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a — na = (m — n) a
  7. a, b, c, ε G . a = b : ⊃ : a/c = b/c . c/a = c/b'
  8. „ a > b : ⊃ : a/c > b/c . c/b > c/a
  9. „ a/c = b/c : ⊃ . a = b

	⎧	„ c/a = c/b : ⊃ . a = b
10.	⎨	„ a/c > b/c : ⊃ . a > b
	⎩	„ c/b > c/a : ⊃ . a > b

11. a, b, c, d, e, f, ε G . a/b = c/d . c/d = e/f: ⊃ . a/b = e/f
12. „ . a/b = c/d = e/f: ⊃ . a/b = (a + c + e)/(b + d + f)
13. „ . a/b = c/d . c/d > e/f : ⊃ . a/b > e/f
14. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ ∴ a > c . ⊃ . b > d : a = c . ⊃ . b = d:
a < c . ⊃ . b < d.
15. a, b ε G . m ε N : ⊃ . (m a)/(mb) = a/b
16. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ . a/c = b/d.
17. „ „ : ⊃ . (a - b)/b = (c - d)/d.
18. „ „ : ⊃ . (a + b)/b = (c + d)/d.
19. „ „ : ⊃ . (a - c)/(b - d) = a/b.
20. a, b, c, d, e f ε G . a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f.
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
21. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f :
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
22. „ a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ . a/c = d/f :
23. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ . a/c = d/f :
24. „ a/b = c/d . e/b = f/d: ⊃ . (a + c)/b = (e + f)/d
25. a, b, c, d ε G . a/b = c/d . a > b . a > c . ⊃ . a + d > b + c.

Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W Geometryi K oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych, 1 wyraża punkt, K1 oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak = między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, b są punktami. to ab oznacza klasę. utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka ab. Wzór c ε ab z ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.

a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1

a, b, c, d, ε 1 . a = b . c = d : ⊃ . a c = b d.

Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.

a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
Wzór ten wyraża: jeżeli a, b, c, d są punktami odcinka, punkt c leży wewnątrz odcinka a d, punkt b wewnątrz odcinka ac, to wynika stąd, że punkt b leży wewnątrz odcinka ad.

a, b ε 1 . c, d ε a′ b : ⊃ ∴ e ε 1 . c, d ε ae : — =_e A

Wzór ten wyraża, jeżeli a i b są punktami, c i d zaś są punktami prostéj a′b, to istnieje punkt e taki, że punkty c i d należą do odcinka ae.

Wzór a, b, c, d ε 1 . p, q ε ab . p, q ε cd . p — = q : ⊃ ∴ x, y ε 1 .

a, b, c, d ε xy : — =_xyΛ
wyraża: Jeżeli a, b, c, d są punktami i jeżeli odcinki ab i cd mają wspólne dwa punkty różne, to te cztery punkty należą do jednego odcinka.

[1] G. Boole, An investigation of the Laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. 1854. Treściwie zebrane wiadomości o pracach uczonych angielskich nad Logiką formalną znaleźć można w książeczce Liarda, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883, która wyszła i w niemieckim przekładzie p. t. Die neuere englische Logik, 2-e wyd. 1883, Inne próby Logiki, traktowanéj sposobem matematycznym, ogłosili J. Delboeuf, Logique algorithmique, Essai sur un système de signes appliqué a la Logique, 1877, i G. Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakże tylko metody logików angielskich wywalczyły sobie pierwszeństwo przed innemi.
Dzieło Jevonsa p. t. The Principles of science, a 'Treatise on logic and scientific method, 1887 [wydanie drugie] zawiera wykład Logiki formalnéj, zastosowanie téjże do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobieństwa, do metod mierzenia, do badań indukcyjnych, do teoryi uogólnień, analogii i klasyfikacyi.

[2] E. Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Krótki wykład Algebry logicznéj znaleźć można w rozprawie St. Piątkiewicza, Algebra w Logice [Sprawozdanie gimnazyum we Lwowie za rok 1888].

[3] Peano wyłożył metodę swoją w następujących rozprawach: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria logicamente esposti, 1889; Les propositions du cinquième livre d'Euclide, réduites en formules [Mathesis, X, 1890, str. 73—74]; Démonstration de l’integrabilité des équations différentielles ordinaires [Mathematische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie téj powziąć można wyobrażenie z następującego treściwego jej przedstawienia:
Znaki, używane w téj metodzie, są następujące:
K oznacza klasę [rozmaitość, mnogość przedmiotów i t. p.], ∪ oznacza spójnik i, ∩ albo, ε znaczy jest, = równa się, ⊃ jest zawarty albo wynika Λ — nic albo niedorzeczność.
Jeżeli a, b, c są K [klasami], to

a ∩ b ∩ c oznacza: klasę wspólną klasom a, b, c.

abc „ to samo co a ∩ b ∩ c.

a ∪ b ∪ c „ najmniejszą klasę, zawierającą w sobie klasy a,b i c.

—a „ klasę złożoną z elementów nie-a.

x ε a „ x jest a [należy do klasy a].

x,y ε a „ x i y należą do klasy a.

a = b „ klasy a i b są tożsame.

a ⊃ b „ klasa a jest zawarta w klasie b, albo każde a jest b.

Λ „ nic albo klasę “zero„. Tak np. ab = Λ oznacza, że żadne a nie jest b.

Jeżeli a, b, c są zdaniami, to

a ∩ b ∩ c oznacza: jednoczesne potwierdzenie zdań a i b;

abc „ to samo co a ∩ b ∩ c.

a ∪ b ∪ c „ że przynajmniéj jedno ze zdań a, b, c jest prawdziwe

—a „ zaprzeczenie zdania a. Jeżeli zdanie a zawiera jeden ze znaków ⊃,=,ε, wtedy znak — dogodniéj jest pisać przed temi znakami. Tak np. a —= b piszemy zamiast —(a = b), x — εa zamiast —(xεa) lub xε—a.

Jeżeli np. a, b są. K, to ab — = Λ oznacza, że jakieś a jest b.

a = b oznacza: zdania a i b są teżsame.

a ⊃ b „ ze zdania a wynika b, albo jeżeli jest a,to jest b.

Λ „ niedorzeczność. Tak np. a - b = Λ oznacza a ⊃ b.

Jeżeli a i b są zdania, zawierające przedmioty nieoznaczone x, y, ..., wtedy

a ⊃_x b oznacza: jakiekolwiek jest x, z a wynika b.

a ⊃_xy b „ jeżeli x i y czynią zadość a, to czynią zadość i b.

a =_x b „ dla wszystkich wartości x zdania a i b są teżsame.

a —=_x Λ „ warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniące zadość warunkowi a.

Rozmaite części jednego wzoru oddzielają się od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia części twierdzenia używamy punktów . : ∴ ∷ i t. d. Aby przeczytać wzór opatrzony takiemi punktami, łączymy najprzód znaki, nie rozdzielone punktami, następnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potém trzema i t. d. Tak np.
ab . cd : ef . g ∴ h . kl oznacza {[(ab)(cd)][(ef)g]}[h(kl)]
Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrażają się nadzwyczaj zwięźle, jak to pokazują następujące przykłady:
a ε K . ⊃ . a . ⊃ a {quod est, est}.
a, b, c ε K . a ⊃ b . b ⊃ c : ⊃ . a ⊃ c wyraża sylogizm:

Jeżeli a, b, c są klasami, np. sądami, to: jeżeli z a wynika b, z b zaś wynika c, to z a wynika c.

a, b ε K . ⊃ : aa = a . a ∪ a = a . — (— a) = a . a — = Λ

a Λ = Λ, a ∪ Λ = a.

Jeżeli a, b są klasami, to stąd wynika, że klasa wspólna klasom a i a jest klasą a; najmniejsza klasa, obejmująca klasy a i a jest a; klasa, będąca negacyą klasy nie-a, jest klasą a; klasa wspólna klasie nie-a jest klasą zero; klasa wspólna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmująca klasę a i klasę zero, jest klasą a.

Następujące trzy wzory czytelnik z łatwością sam odczyta.

a, b ε K . ⊃ : a b = b a . a ∪ b = b ∪ a . ab ⊃ a . a ⊃ a ∪ b . — (a ∩ b)

= (— a) ∪ (— b) . —(a ∪ b) = (— a) ∩ (— b);
a, b, c ε K . ⊃ : (ab) c = a(bc) = abc . (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
=a ∪ b ∪ c;

a, b ε K . ⊃ ∴ a ⊃ b . = : x ε a ⊃_x x ε b.
Liczbę tych przykładów możnaby znacznie powiększyć; ale i podane wystarczają do pokazania, w jaki sposób symbolistyka Peano skraca wysłowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.

a b ε N . ⊃ . a + (b + 1) = a (b + 1);

a b c ε N . ⊃ . a + (b + c) = a + b + c;

a ε N . ⊃ . 1 + a = a + 1;

a b ε N . ⊃ : a < b . = . b — a — = Λ;

a ε N . ⊃ × 1 = a;

a b ε N . ⊃ . a b ε N;

a b c ε N . ⊃ . a = b : ⊃ : a c = b c .:

a b c ε N . ⊃ ∴ a < b . = . a c < b c : a = b . = . a c = b c :

a > b . = . a c > b c .;

a b c ε N . ⊃ . a(bc) = a b c;

a b ε N . ⊃ : b/a = N[xε] (x a = b).

Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i b są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = b. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:
a, b ε q . ⊃ . ab = ba
[jeżeli liczby a i b są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi ba]
a, b ε q . a² + b² = 0 : ⊃ : a = 0 . b = 0
a, b ε q . ab = 0 : ⊃ : a = 0 . ∪ . b = 0
Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.
a, b, x, y ε q . ⊃ ∴ x + y = a . x — y = b : = : 2x = a + b . 2y = a — b.
a b ε q . ⊃ ∷ x ε q . x² + a x + b = 0 : — =_x Λ ∴ = . a² — 4 b ≥ O.
Wzór drugi wyraża twierdzenie: “Jeżeli a i b są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x² + a x + b = O był liczbą rzeczywistą, jest: a² - 4 b ≥ 0„.
Twierdzenia piątej księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
1. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma + m b = m (a + b)
2. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a + na = (m + n) a
3. „ : ⊃ . n(ma) = (nm) a
4. a, b, c, d, ε G, m, n ε N . a/b = c/d: ⊃ . (ma)/(nb) = (mc)/(n/d)
5. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma — mb = m(a — b)
6. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a — na = (m — n) a
7. a, b, c, ε G . a = b : ⊃ : a/c = b/c . c/a = c/b'
8. „ a > b : ⊃ : a/c > b/c . c/b > c/a
9. „ a/c = b/c : ⊃ . a = b

⎧ „ c/a = c/b : ⊃ . a = b

10. ⎨ „ a/c > b/c : ⊃ . a > b

⎩ „ c/b > c/a : ⊃ . a > b

11. a, b, c, d, e, f, ε G . a/b = c/d . c/d = e/f: ⊃ . a/b = e/f
12. „ . a/b = c/d = e/f: ⊃ . a/b = (a + c + e)/(b + d + f)
13. „ . a/b = c/d . c/d > e/f : ⊃ . a/b > e/f
14. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ ∴ a > c . ⊃ . b > d : a = c . ⊃ . b = d:
a < c . ⊃ . b < d.
15. a, b ε G . m ε N : ⊃ . (m a)/(mb) = a/b
16. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ . a/c = b/d.
17. „ „ : ⊃ . (a - b)/b = (c - d)/d.
18. „ „ : ⊃ . (a + b)/b = (c + d)/d.
19. „ „ : ⊃ . (a - c)/(b - d) = a/b.
20. a, b, c, d, e f ε G . a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f.
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
21. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f :
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
22. „ a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ . a/c = d/f :
23. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ . a/c = d/f :
24. „ a/b = c/d . e/b = f/d: ⊃ . (a + c)/b = (e + f)/d
25. a, b, c, d ε G . a/b = c/d . a > b . a > c . ⊃ . a + d > b + c.

Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W Geometryi K oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych, 1 wyraża punkt, K1 oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak = między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, b są punktami. to ab oznacza klasę. utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka ab. Wzór c ε ab z ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.

a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1

a, b, c, d, ε 1 . a = b . c = d : ⊃ . a c = b d.

Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.

a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
Wzór ten wyraża: jeżeli a, b, c, d są punktami odcinka, punkt c leży wewnątrz odcinka a d, punkt b wewnątrz odcinka ac, to wynika stąd, że punkt b leży wewnątrz odcinka ad.

a, b ε 1 . c, d ε a′ b : ⊃ ∴ e ε 1 . c, d ε ae : — =_e A

Wzór ten wyraża, jeżeli a i b są punktami, c i d zaś są punktami prostéj a′b, to istnieje punkt e taki, że punkty c i d należą do odcinka ae.

Wzór a, b, c, d ε 1 . p, q ε ab . p, q ε cd . p — = q : ⊃ ∴ x, y ε 1 .

a, b, c, d ε xy : — =_xyΛ
wyraża: Jeżeli a, b, c, d są punktami i jeżeli odcinki ab i cd mają wspólne dwa punkty różne, to te cztery punkty należą do jednego odcinka.

[1]

[2]

[3]