Od Algebry Logiki należy odróżnić Logikę Matematyki, któréj przedmiotem jest badanie związków logicznych między pojęciami i metodami, gdy samo stosowanie i rozwinięcie tych pojęć i metod jest przedmiotem Matematyki właściwéj.
Logika Matematyki może wychodzić z dwóch punktów widzenia. Po pierwsze może pytać, jaką postać przyjmują metody badania naukowego w zastosowaniu do dziedziny Matematyki?; są to: analiza, synteza, abstrakcya, indukcya i dedukcya. Po drugie może pytać o charakter logiczny metod w poszczególnych dziedzinach Matematyki; są to metody matematyczne właściwe, o jakich mówimy w niniejszéj książce.[1]
Euklides w następujący sposób określa obie metody: W analizie rzecz szukana uzasadnia się za pomocą kolejnych wniosków, prowadzących do prawdy uznanéj; w syntezie rzecz uzasadnia się za pomocą wniosków, które do niéj prowadzą od prawd uznanych.
Te niezupełne jasne określenia utrwaliły się, jak powiada Hankel[2], w tradycyi szkolnéj i późniejsze komentarze licznych pisarzy nie uczyniły ich jaśniejszemi. Aby pokazać, na czém istotnie polega różnica obu metod, weźmy dla przykładu jedno z twierdzeń geometrycznych i dowiedźmy go metodą analityczną, a następnie syntetyczną[3].
“Niechaj będzie prosta AB, podzielona w stosunku skrajnym i średnim w punkcie C, i niechaj AC będzie część większa. [Czytelnik zechce sam nakreślić potrzebny do tego rysunek; punkt D znajduje się po przeciwległéj stronie punktu C względem punktu A]. Jeżeli linia AD równa się połowie linii AB, mówię, że kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD„.
1°. Sposób analityczny. Ponieważ kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD, kwadrat zaś odcinka CD równa się kwadratowi odcinka AC wraz z kwadratem odcinka AD i podwójnym prostokątem, zbudowanym na odcinkach AC i AD, przeto suma kwadratów odcinków AC i AD i podwójnego prostokąta, wystawionego na tych odcinkach, równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD. Odejmując od wielkości równych po kwadracie z odcinka AD, otrzymujemy, że suma kwadratu odcin-
- ↑ Wykładowi ogólnych metod Matematyki poświęcony jest rozdział tomu 2-go Logiki Wundta. 1883, str. 76—114, w któréj czytelnik znajdzie następujące rzeczy: o zadaniach badania matematycznego, o analizie i syntezie matematycznéj, o indukcyi i abstrakcyi matematycznéj, o dedukcyi matematycznéj. Ten sam przedmiot opracował wcześniej Wundt w rozprawie Ueber die mathematische Induction [Pililosophische Studien, II 1883, str. 90—147].
- ↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, 1874, str. 137—150.
- ↑ Przykład wzięty z Dauge'a Leçons de Methodologie mathématique 1881—1882.
