i kombinując je z prawdami poprzednio dowiedzionemi, dochodzimy do wniosku niezgodnego z prawdą: wtedy bowiem założenie musiało być oczywiście fałszywe, gdyż jest rzeczą niemożliwą, aby z prawdy, uznanéj za pewną, można było przez kombinacyą z prawdami dowiedzionemi dojść do wniosku niezgodnego z prawdą. W tym przypadku sposób dowodzenia znany jest pod nazwą sprowadzenia do niedorzeczności (reductio ad absurdum) i jest najzupełniej wystarczający, jakkolwiek może nie posiada téj siły przekonywającéj, jaką ma sposób dowodzenia bezpośredni. Mimo to sposób ten często był używany przez starożytnych i dopiero metody Rachunku wyższego Matematyki nowożytnéj dały nam środek zastąpienia go sposobem bezpośrednim dowodzenia.
Hankel[1] scharakteryzował metody syntetyczną i analityczną w Geometryi starożytnych i określił warunki, pod któremi są one zawsze stosowalne, w sposób następujący.
Każde twierdzenie geometryczne wyraża, że gdy pewna figura posiada pewną własność A, wtedy koniecznie i ogólnie posiada inną własność B, czyli mówiąc krótko: jeżeli jest A, to musi być i B.
Jeżeli obok tego twierdzenia zachodzi i drugie twierdzenie, mianowicie: jeżeli niema A, to niema i B, to oba twierdzenia można
zawrzeć w jedném: A jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla B. Ponieważ wynika stąd, że gdy jest B, to jest i A, a więc w tym przypadku twierdzenie jest bezwarunkowo i ogólnie odwracalne: obie własności A i B warunkują się wzajemnie.
W przypadku gdy A nie jest koniecznym warunkiem zachodzenia B, twierdzenie “A jest B„ nie jest odwracalne i wynika z niego jedno z dwóch; “B jest A„ albo “B jest nie-A„. W tym właśnie przypadku znajdują się wszystkie twierdzenia, w których B jest własnością podrzędną, w A zawartą, jakiej się używa często w twierdzeniach pomocniczych. Twierdzenie zaś, wyrażające związek pewnéj własności A z inną, nie zawartą z nią logicznie, musi być odwracalne. Twierdzenie: “Jeżeli jest A, to jest i B„ gdy nie jest odwracalne, wskazuje, że istnieje inne twierdzenie odwracalne: “Jeżeli jest A′ to jest i B′„, gdzie A′ oznacza własność ogólniejszą od własności A, lub B′ wyraża własność specyalniejszą od własności B.
Synteza przy dowodzeniu twierdzenia “A jest B„ polega na kombinowaniu twierdzeń, poprzednio dowiedzionych: “A jest D„,
- ↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyżéj.
