dania. Jak z postępem techniki człowiek z kombinacyi najprostszych machin, spożytkowując czynniki przyrody, zdobywa coraz doskonalsze narzędzia pracy, podobnież w Matematyce uogólnianie pojęć, będące wynikiem pracy umysłowéj pokoleń, daje nowe i doskonalsze narzędzia myślenia, które następnie z pożytkiem stosujemy do badania przyrody. Najbardziéj oderwane i wyidealizowane formy matematyczne, którym zdaje się nie odpowiadać nic rzeczywistego, okazują się następnie potężnemi narzędziami badania; za przykład służyć mogą nieskończenie małe, jedna z najważniejszych form Matematyki wyższéj, dzięki któréj udoskonaliły się tak znakomicie Mechanika, Astronomia i Fizyka. Ważność i płodność tego kierunku twórczości ludzkiéj wykazują dostatecznie dzieje nauki, a prawa tego postępu myśli w nauce tak ścisłéj, jak Matematyka, stanowią zadanie wielce ciekawe dla filozofa[1].
Przed 23 laty Hankel[2] sformułował dla dziedziny liczb zasadę, którą kierujemy się zwykle przy uogólnianiu prawd i związków matematycznych, i nazwał ją zasadą zachowania praw formalnych [Prinzip der Permanenz formaler Gesetze]. W postaci nadanéj przez Hankela, zasada ta jest właściwie tylko szczególnym przypadkiem zasady ogólniejszéj, którą niżej podajemy.
Oto jak uzasadnia rzecz tę Hankel:
Niechaj a,b,c... będą pewne formy lub związki pomiędzy formami Wyobraźmy sobie, że formy a i b skombinowaliśmy czysto pojęciowo i że na wypadek tego połączenia czyli działania otrzymaliśmy nową formę c. Forma ta we wszystkich działaniach, jakie nad formami wykonywać będziemy, zastępuje połączenie form a i b, jest równą temu połączeniu. Rzecz oczywista, że jeżeli formy łączyć będziemy ze sobą według pewnych stałych prawideł, to pomiędzy wynikami różnych połączeń otrzymamy pewne związki, wynikające z saméj natury połączeń, bez względu na istotę form łączonych ze sobą; związki, dające się wyprowadzić z samych założeń drogą dedukcyi. Ponieważ natura połączeń form jest zupełnie dowolną, więc i prawidła działań czysto formalnych są zupełnie dowolne, z tém tylko zastrzeżeniem, aby nie wyłączały się wzajemnie i nie zawierały się jedne w drugich: wybieramy przeto prawidła bezwzględnie dostateczne.
Można oczywiście utworzyć system takich form, w którym wszystkie formy i działania są określone dostatecznie [i nie bardziej niż
- ↑ Potężnym bodźcem do uogólnienia badań matematycznych było wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu działań w takiéj postaci, musiały naturalnie powstawać pytania o ogólném znaczeniu działań, gdy się żadnych co do liczb, wyrażanych przez litery, nie czyni założeń specyalnych. Przez Geometryą Descartes'a wpływ téj metody przeszedł na Geometryą i rozwinął się następnie w Geometryi syntetycznéj.
- ↑ Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867. str. 10—12.
